Iintegrale doppio su dominio circolare "tagliato"

[thiezar87]

Ho il seguente integrale doppio:
$I= int int_(D) (x^2+y^2+2) dx dy $ dove $ D= {(x,y) in RR ^2 | x geq sqrt(2)/2, x^2+y^2 leq 1 } $

Il dominio $D$ è la circonferenza di raggio unitario centrata nell'origine, ma solo la zona con $ x geq sqrt(2)/2 $
Praticamente è lo spicchio mostrato nell'immagine, ed è normale all'asse y.


Premetto che non posso usare le formule di Gauss-Green.

Allora immagino di dover pensare il dominio $D$ come $ D=D_1 - D_2 $ dove
$ D_1= {(x,y) in RR ^2 | x^2+y^2 leq 1 } $
$ D_2= {(x,y) in RR ^2 | x leq sqrt(2)/2 } $

quindi $I=int int_(D_1) f(x,y) dx dy - int int_(D_2) f(x,y) dx dy$

effetto un cambio di variabili su $D_1$ che diventa $T_1=(r cos(t), r sin(t))$ con $ r in [0,1], t in [-pi/4, pi/4]$

$I= int_0^1 int_(-pi/4)^(pi/4) J(f(r,t)) f(r,t) dr dt - int int_(D_2) f(x,y) dx dy $
$I= int_0^1 int_(-pi/4)^(pi/4) r(r^2+2) dr dt - int int_(D_2) f(x,y) dx dy $

A questo punto le domande sono due:
1) sto procedendo in modo corretto?
2) come imposto il secondo integrale su $D_2$?

[Quinzio]

Un modo semplice è quello di considerare la differenza dei due integrali.

$\int_0^1 \int_(-\pi/4)^(\pi/4)\ \rho\ f(\theta, \rho)\ d\theta\ d\rho - \int_0^(1/\sqrt2) \int_(-x)^x f(x,y) \ dy\ dx $

dove il primo è in coordinate polari, il secondo in cartesiane.
Sembra complicato, non lo è....

[thiezar87]

E' esattamente il modo in cui stavo risolvendo solo che non riuscivo a impostare gli estremi di integrazione del secondo integrale.
Mi spiegheresti perchè sono proprio quelli? Perchè fai andare l'integrale in $dx$ da $0$ a $1/sqrt(2)$ e quello in $dy$ da $-x$ a $x$ ?