Identità trigonometrica inversa e dimostrazione
In un esercizio mi viene chiesto di mostrare perchè
$ arctan x + anctan (1/x) = pi/2$ se x>0
Va utilizzata qualche altra formula trigonometrica per arrivare alla soluzione?
Oppure occorre servirsi dello sviluppo in serie di Taylor???
$ arctan x + anctan (1/x) = pi/2$ se x>0
Va utilizzata qualche altra formula trigonometrica per arrivare alla soluzione?
Oppure occorre servirsi dello sviluppo in serie di Taylor???
Risposte
Prova a considerare un triangolo rettangolo i cui cateti misurano rispettivamente $1$ e $x$...
Si può anche ragionare per via analitica: la derivata della funzione $g(x)="arctg"(x)+"arctg"(\frac{1}{x})$ è nulla, quindi, dove è definita, $g(x)$ è costante.
Il dominio è $\{x \in \mathbb{R} : x \ne 0\}$.
Per trovare il valore per le $x$ positive basta calcolare il valore della funzione per un generico $x>0$, ad esempio $x=\sqrt(3)$.
$g(\sqrt3)="arctg"(\sqrt(3))+"arctg"(\frac{1}{\sqrt(3)})=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$.
Quindi per $x>0$ $"arctg"(x)+"arctg"(\frac{1}{x})$ è costante e vale $\frac{\pi}{2}$.
Facendo lo stesso per $x<0$ si vede che la somma vale costantemente $-\frac{\pi}{2}$ (si può vedere anche considerando il fatto che la funzione è dispari).
Il dominio è $\{x \in \mathbb{R} : x \ne 0\}$.
Per trovare il valore per le $x$ positive basta calcolare il valore della funzione per un generico $x>0$, ad esempio $x=\sqrt(3)$.
$g(\sqrt3)="arctg"(\sqrt(3))+"arctg"(\frac{1}{\sqrt(3)})=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$.
Quindi per $x>0$ $"arctg"(x)+"arctg"(\frac{1}{x})$ è costante e vale $\frac{\pi}{2}$.
Facendo lo stesso per $x<0$ si vede che la somma vale costantemente $-\frac{\pi}{2}$ (si può vedere anche considerando il fatto che la funzione è dispari).
solo una precisazione, Tipper:
dici: "la derivata della funzione $g(x)="arctg"(x)+"arctg"(\frac{1}{x})$ è nulla, quindi, dove è definita, $g(x)$ è costante"
ma non a caso poi dopo ne trovi due di costanti...
Tutto sta nel fatto che la funzione $g$ è definita, come dici tu, su $RR$ tranno lo 0. Che non è un intervallo.
E quindi il teorema che permette di dedurre che una funzione avevnte derivata nulla è costante non si applica.
Naturalmente il teorema si può applicare separatamente sui due intervalli: $]-oo,0[$ e $]0,+oo[$.
Su ciascuno dei due intervalli è costante, quindi. Conformemente ai risultati che trovavi
ciao
dici: "la derivata della funzione $g(x)="arctg"(x)+"arctg"(\frac{1}{x})$ è nulla, quindi, dove è definita, $g(x)$ è costante"
ma non a caso poi dopo ne trovi due di costanti...
Tutto sta nel fatto che la funzione $g$ è definita, come dici tu, su $RR$ tranno lo 0. Che non è un intervallo.
E quindi il teorema che permette di dedurre che una funzione avevnte derivata nulla è costante non si applica.
Naturalmente il teorema si può applicare separatamente sui due intervalli: $]-oo,0[$ e $]0,+oo[$.
Su ciascuno dei due intervalli è costante, quindi. Conformemente ai risultati che trovavi
ciao
"Fioravante Patrone":
solo una precisazione, Tipper:
dici: "la derivata della funzione $g(x)="arctg"(x)+"arctg"(\frac{1}{x})$ è nulla, quindi, dove è definita, $g(x)$ è costante"
ma non a caso poi dopo ne trovi due di costanti...
Tutto sta nel fatto che la funzione $g$ è definita, come dici tu, su $RR$ tranno lo 0. Che non è un intervallo.
E quindi il teorema che permette di dedurre che una funzione avevnte derivata nulla è costante non si applica.
Naturalmente il teorema si può applicare separatamente sui due intervalli: $]-oo,0[$ e $]0,+oo[$.
Su ciascuno dei due intervalli è costante, quindi. Conformemente ai risultati che trovavi
ciao
Hai ragione, sono stato un po' (tanto) approssimativo.
Intendevo dire che su ogni intervallo in cui è definita è costante.
Se ho capito bene infatti questa funzione non è nient'altro che il segno di $x$ moltiplicato per $\frac{\pi}{2}$.
@Tipper
la risposta è naturalmente sì
se sono intervenuto in merito alla tua risposta, è solo per la fastidiosa sindrome di professorite che mi affligge da tanti anni...
già che ci sono, aggiungo che il metodo che suggerisci è carino e non capisco perché non venga usato più spesso. Se non altro come esercizio sulle derivate e teoremi relativi. Funge anche in altri casi (e come non potrebbe?
). Ad esempio per l'identità trigonometrica fondamentale $cos^2 x + sin^2 x = 1$
Dal punto di vista della domanda specifica, a me piace la risposta di celine perché è molto diretta e "spiega" come mai vale questa identità trigonometrica.
la risposta è naturalmente sì
se sono intervenuto in merito alla tua risposta, è solo per la fastidiosa sindrome di professorite che mi affligge da tanti anni...
già che ci sono, aggiungo che il metodo che suggerisci è carino e non capisco perché non venga usato più spesso. Se non altro come esercizio sulle derivate e teoremi relativi. Funge anche in altri casi (e come non potrebbe?
). Ad esempio per l'identità trigonometrica fondamentale $cos^2 x + sin^2 x = 1$Dal punto di vista della domanda specifica, a me piace la risposta di celine perché è molto diretta e "spiega" come mai vale questa identità trigonometrica.
In effetti la risposta di celine è molto utile intuitivamente e mi ha fatto
capire meglio il problema, tuttavia l'esercizio che non riuscivo a risolvere
richiedeva una dimostrazione rigorosa raggiungibile attraverso la costanza
della derivata nei 2 intervalli del dominio.....
grazie per l'aiuto.....
PS Credo che per l'arcotangente iperbolica non si possa dire che esista analogia
con l'ipotesi precedente....
Il dominio della funzione dovrebbe rendere la funzione impossibile in quanto le
2 funzioni $arctanh x$ e $arctanh (1/x)$ esistono su due intervalli diversi
capire meglio il problema, tuttavia l'esercizio che non riuscivo a risolvere
richiedeva una dimostrazione rigorosa raggiungibile attraverso la costanza
della derivata nei 2 intervalli del dominio.....
grazie per l'aiuto.....
PS Credo che per l'arcotangente iperbolica non si possa dire che esista analogia
con l'ipotesi precedente....
Il dominio della funzione dovrebbe rendere la funzione impossibile in quanto le
2 funzioni $arctanh x$ e $arctanh (1/x)$ esistono su due intervalli diversi
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