Identità da dimostrare a partire da una funzione integrale

[mauri54]

Ciao a tutti,secondo voi come si risolve il seguente esercizio?

Data \( F(x)=\displaystyle\int_{1/e}^{x}\arctan\Big(\sqrt{3}\frac{\log{t}-1}{\log{t}+1}\Big)dt \)
Provare che per ogni \( t>\frac{1}{e} \) esiste \( c_t\in\Big(\frac{\log{t}-1}{\log{t}+1},1\Big) \) tale che \( \arctan{\Big(\sqrt{3}\frac{\log{t}-1}{\log{t}+1}\Big)}=\displaystyle\frac{\pi}{3}-\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{(\log{t}+1)(3c_t^2+1)} \). Cosa devo usare? Non ci sto riuscendo

Qualora potesse aiutare:
Il dominio risulta \( (0,+\infty) \) e i limiti agli estremi sono:
siccome \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} \arctan\Big(\sqrt{3}\frac{\log{t}-1}{\log{t}+1}\Big)=\frac{\pi}{3} \) allora \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\displaystyle\int_{1/e}^{x}\arctan\Big(\sqrt{3}\frac{\log{t}-1}{\log{t}+1}\Big)dt=+\infty \)

e siccome \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+} \arctan\Big(\sqrt{3}\frac{\log{t}-1}{\log{t}+1}\Big)=\frac{\pi}{3} \) allora \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}\displaystyle\int_{1/e}^{x}\arctan\Big(\sqrt{3}\frac{\log{t}-1}{\log{t}+1}\Big)dt<+\infty \)

Grazie!
Ps: a seconda del metodo che verrà fuori cambierò il titolo. Attualmente non sapevo cosa mettere!
Mauri

[ciampax]

Teorema di Lagrange? Così, a sentimento.

[mauri54]

"ciampax":Teorema di Lagrange? Così, a sentimento.

Ah ho capito grazie!