Hessiano sempre nullo

[.Ruben.17]

Come si caratterizza una funzione di due variabili che ha hessiano nullo in ogni punto del suo dominio?
Mi sono imbattuto in questo problema durante un problema di fisica e non riesco a venirne a capo. L'unica cosa che mi sentirei di direi (magari sbagliando) é che ho l'impressione che tale funzione non é né concava né convessa e, come tale, é in realtá un piano nello spazio.

[Raptorista1]

Prendi una cosa con hessiano nullo e integra due volte.

[.Ruben.17]

Dunque ho: $(d^2V)/dx^2 (d^2V)/dy^2 = ((d^2V)/(dxdy))^2$
Rispetto a cosa dovrei integrare?

[Raptorista1]

Scusa, stai parlando della matrice hessiana o del suo determinante? :S

[.Ruben.17]

Del determinante

[Raptorista1]

Questo avresti potuto chiarirlo subito xD
Di sicuro non sono solo i piani:
\[
f(x,y) = x^2
\]
ha matrice hessiana con determinante nullo in tutti i punti, per esempio.

[.Ruben.17]

Si hai ragione xD
Ma non esiste una vera e propria caratterizzazione?
Il fatto è che mi sono trovato davanti, durante un problema di fisica, una PDE per il potenziale elettrico; sono riuscito a dimostrare che il potenziale ha hessiano nullo in ogni punto. Posso riuscire a rendere utile in qualche modo quest'informazione?

[Raptorista1]

Non lo so, e non credo: quella è una PDE nonlineare, caratterizzarne le soluzioni mi sembra chiedere fin troppo