HELP: continuità e differenziabilità
Ciao a tutti, sono nuova del forum. Le vostre discussioni mi sono spesso molto utili, ne ho lette un paio sull'argomento "continuità e differenziabilità" ma ho ancora dei dubbi sull'argomento. Spero possiate aiutarmi.
Per chiarezza, vi propongo il testo di un esercizio "tipo" che non riesco a capire.
Data:
f(x,y) = (xy^3)/(x^2+y^4) se (x,y)≠(0,0)
0 se (x,y)=(0,0)
1. f è continua in (0,0)?
2. f è differenziabile in (0,0)?
A quanto ho capito, correggetemi se sbaglio, f è continua nell'origine, solo se il limite della funzione con x,y tendenti a (0,0) è uguale a f(0,0), cioè 0 in questo caso, giusto? Ma, leggendo alcuni esercizi svolti che ho trovato su internet ho visto che lo svolgimento fa riferimento a disequazioni di vario genere... Potreste aiutarmi a capirci qualcosa?
E poi in merito alla differenziabilità? Potreste spiegarmi i passaggi da eseguire? Grazie!
Per chiarezza, vi propongo il testo di un esercizio "tipo" che non riesco a capire.
Data:
f(x,y) = (xy^3)/(x^2+y^4) se (x,y)≠(0,0)
0 se (x,y)=(0,0)
1. f è continua in (0,0)?
2. f è differenziabile in (0,0)?
A quanto ho capito, correggetemi se sbaglio, f è continua nell'origine, solo se il limite della funzione con x,y tendenti a (0,0) è uguale a f(0,0), cioè 0 in questo caso, giusto? Ma, leggendo alcuni esercizi svolti che ho trovato su internet ho visto che lo svolgimento fa riferimento a disequazioni di vario genere... Potreste aiutarmi a capirci qualcosa?
E poi in merito alla differenziabilità? Potreste spiegarmi i passaggi da eseguire? Grazie!
Risposte
Risolvere un limite in più variabili non è cosa semplice, il più delle volte.
Nel tuo caso, vorresti confermare (o smentire) che:
\[
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) =f(0,0)
\]
ossia che:
\[
\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{xy^3}{x^2+y^4}=0\; .
\]
Chiaramente, se calcoli i limiti delle restrizioni di \(f\) lungo gli assi o, ad esempio, lungo le bisettrici vedi subito che tali restrizioni soddisfano la relazione di limite.
Quindi ti fai l'idea che tale relazione valga in effetti globalmente e non solo lungo le restrizioni.
Per provare che ciò effettivamente accade, devi riuscire a far vedere che \(|f|\) tende a zero quando \((x,y)\) tende a \((0,0)\) (poiché mostrare ciò equivale a provare valida la relazione di limite di cui sopra); questo obiettivo è facile da raggiungere se ti metti un po' a giocare esplicitamente con la legge di assegnazione di \(|f|\): infatti, tenendo conto della disuguaglianza tra media geometrica ed aritmetica:
\[
\sqrt{ab}\leq \frac{a+b}{2}\qquad \text{, per } a,b\geq 0
\]
si ha:
\[
\begin{split}
|f(x,y)| &= \frac{|x|\ |y|^3}{x^2+y^4}\\
&\leq \frac{|x|\ |y|^3}{2\sqrt{x^2\ y^4}}\\
&= \frac{|x|\ |y|^3}{2|x|\ y^2}\\
&= \frac{1}{2}\ |y|
\end{split}
\]
da cui per il teorema dei carabinieri:
\[
0\leq \lim_{(x,y)\to (0,0)} |f(x,y)| \leq \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{1}{2}\ |y| =0
\]
come volevi.
Nel tuo caso, vorresti confermare (o smentire) che:
\[
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) =f(0,0)
\]
ossia che:
\[
\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{xy^3}{x^2+y^4}=0\; .
\]
Chiaramente, se calcoli i limiti delle restrizioni di \(f\) lungo gli assi o, ad esempio, lungo le bisettrici vedi subito che tali restrizioni soddisfano la relazione di limite.
Quindi ti fai l'idea che tale relazione valga in effetti globalmente e non solo lungo le restrizioni.
Per provare che ciò effettivamente accade, devi riuscire a far vedere che \(|f|\) tende a zero quando \((x,y)\) tende a \((0,0)\) (poiché mostrare ciò equivale a provare valida la relazione di limite di cui sopra); questo obiettivo è facile da raggiungere se ti metti un po' a giocare esplicitamente con la legge di assegnazione di \(|f|\): infatti, tenendo conto della disuguaglianza tra media geometrica ed aritmetica:
\[
\sqrt{ab}\leq \frac{a+b}{2}\qquad \text{, per } a,b\geq 0
\]
si ha:
\[
\begin{split}
|f(x,y)| &= \frac{|x|\ |y|^3}{x^2+y^4}\\
&\leq \frac{|x|\ |y|^3}{2\sqrt{x^2\ y^4}}\\
&= \frac{|x|\ |y|^3}{2|x|\ y^2}\\
&= \frac{1}{2}\ |y|
\end{split}
\]
da cui per il teorema dei carabinieri:
\[
0\leq \lim_{(x,y)\to (0,0)} |f(x,y)| \leq \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{1}{2}\ |y| =0
\]
come volevi.
Quante e soprattutto quali disequazioni è possibile utilizzare per riuscire nel nostro intento?
Quelle che vuoi e quelle che ritieni più opportuno utilizzare.
Sta a te farti una piccola cultura in merito: studiare serve soprattutto a questo (e non ad imparare metodi o algoritmi risolutivi).
Sta a te farti una piccola cultura in merito: studiare serve soprattutto a questo (e non ad imparare metodi o algoritmi risolutivi).
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