Ha senso il risultato di questo integrale?
ho quest'integrale da risolvere: $intint_D x/sqrt(x^2+y^2)dxdy$ $D={(x,y) : 2<=x^2+y^2<=4,x^2+y^2-2sqrt2x<=0,y>=0}$ e applicando la trasformazione in coordinate polari ottengo $0$. è mai possibile?
illustro i passaggi effettuati in coordinate polari:
$intint_(D_(rho,theta)) rhocos(theta)d\rhod\theta$ il dominio diventa $sqrt2<=rho<=2$,$rho<=2sqrt2costheta$,$0<=theta<=pi$ proseguendo $=> sqrt2<=rho<=2,0<=theta<=pi$
quindi $int_(sqrt2)^2rhod\rhoint_(0)^pi costhetad\theta$
di cui il primo viene $0$. come mai? è possibile c'è qualche errore?
illustro i passaggi effettuati in coordinate polari:
$intint_(D_(rho,theta)) rhocos(theta)d\rhod\theta$ il dominio diventa $sqrt2<=rho<=2$,$rho<=2sqrt2costheta$,$0<=theta<=pi$ proseguendo $=> sqrt2<=rho<=2,0<=theta<=pi$
quindi $int_(sqrt2)^2rhod\rhoint_(0)^pi costhetad\theta$
di cui il primo viene $0$. come mai? è possibile c'è qualche errore?
Risposte
fermo, devi guardare dove $2 \sqrt(2) \cos(theta) < 2 $. credo che l'integrale vada rotto in due di conseguenza..
[tex]$D$[/tex] è l'intersezione di:
1. la corona circolare di raggi [tex]$r=\sqrt{2}$[/tex] e [tex]$R=2$[/tex] ([tex]$2\leq x^2+y^2\leq 4$[/tex]);
2. il semipiano delle ordinate non negative ([tex]$y\geq 0$[/tex]);
3. il cerchio di raggio [tex]$\varrho =\sqrt{2}$[/tex] e centro in [tex]$(\sqrt{2},0)$[/tex] ([tex]$x^2+y^2-2\sqrt{2}\ x \leq 0$[/tex], ossia [tex]$(x-\sqrt{2})^2+y^2\leq 2$[/tex]).
Visto che la funzione integranda è positiva in [tex]$D$[/tex] quel risultato è errato.
Il consiglio è di calcolare i punti di intersezione tra le tre circonferenze che delimitano [tex]$D$[/tex], poiché probabilmente l'errore sta nel fatto che le loro anomalie [tex]$\theta$[/tex] sono state impostate male.
1. la corona circolare di raggi [tex]$r=\sqrt{2}$[/tex] e [tex]$R=2$[/tex] ([tex]$2\leq x^2+y^2\leq 4$[/tex]);
2. il semipiano delle ordinate non negative ([tex]$y\geq 0$[/tex]);
3. il cerchio di raggio [tex]$\varrho =\sqrt{2}$[/tex] e centro in [tex]$(\sqrt{2},0)$[/tex] ([tex]$x^2+y^2-2\sqrt{2}\ x \leq 0$[/tex], ossia [tex]$(x-\sqrt{2})^2+y^2\leq 2$[/tex]).
Visto che la funzione integranda è positiva in [tex]$D$[/tex] quel risultato è errato.
Il consiglio è di calcolare i punti di intersezione tra le tre circonferenze che delimitano [tex]$D$[/tex], poiché probabilmente l'errore sta nel fatto che le loro anomalie [tex]$\theta$[/tex] sono state impostate male.
perche' l'estremo e' $\pi/4<\theta<\pi/2$ e lo vedi cosi':$\rho<2sqrt(2)cos\theta$ e sostituisci i valori di $\theta$ tale che $sqrt(2)<\rho<2$
oppure fatti intersezione circonferenze $x^2+y^2-2sqrt(2)x=0,x^2+y^2-2=0$ ottieni $x=sqrt(2)/2$ che corrisponde a $\theta=\pi/4$
oppure fatti intersezione circonferenze $x^2+y^2-2sqrt(2)x=0,x^2+y^2-2=0$ ottieni $x=sqrt(2)/2$ che corrisponde a $\theta=\pi/4$
"legendre":
perche' l'estremo e' $\pi/4<\theta<\pi/2$ e lo vedi cosi':$\rho<2sqrt(2)cos\theta$ e sostituisci i valori di $\theta$ tale che $sqrt(2)<\rho<2$
non ho capito esattamente questo passaggio.me lo potresti spiegare?.ho capito l'errore che ho commesso anche perchè mi sembrava proprio strano
per prima cosa ti consiglio di disegnarti l'insieme di integrazione, così ti dà anche una certa sicurezza.
poi guarda cos'hai scritto:
l'implicazione è sbagliata, perchè non sempre $2sqrt2costheta$ è maggiore di $2$. devi vedere per quali $\theta$ questo accade: per i $theta$ tali che $2sqrt2costheta < 2$, cambia l'intervallo di integrazione di $rho$
poi guarda cos'hai scritto:
"mazzy89":
$intint_(D_(rho,theta)) rhocos(theta)d\rhod\theta$ il dominio diventa $sqrt2<=rho<=2$,$rho<=2sqrt2costheta$,$0<=theta<=pi$ proseguendo $=> sqrt2<=rho<=2,0<=theta<=pi$
l'implicazione è sbagliata, perchè non sempre $2sqrt2costheta$ è maggiore di $2$. devi vedere per quali $\theta$ questo accade: per i $theta$ tali che $2sqrt2costheta < 2$, cambia l'intervallo di integrazione di $rho$
"enr87":
per prima cosa ti consiglio di disegnarti l'insieme di integrazione, così ti dà anche una certa sicurezza.
poi guarda cos'hai scritto:
[quote="mazzy89"]
$intint_(D_(rho,theta)) rhocos(theta)d\rhod\theta$ il dominio diventa $sqrt2<=rho<=2$,$rho<=2sqrt2costheta$,$0<=theta<=pi$ proseguendo $=> sqrt2<=rho<=2,0<=theta<=pi$
l'implicazione è sbagliata, perchè non sempre $2sqrt2costheta$ è maggiore di $2$. devi vedere per quali $\theta$ questo accade: per i $theta$ tali che $2sqrt2costheta < 2$, cambia l'intervallo di integrazione di $rho$[/quote]
il dominio l'ho graficato e ottengo la corona circolare nel primo quadrante. risolvendo la disequazione $2sqrt2costheta < 2$ ottengo $theta
sì, poi devi tenere conto che ti manca il pezzetto da $pi/4$ in su.
ti faccio presente che nel pezzo di corona circolare (fino all'angolo $pi/4$) hai $ sqrt2 < \rho < 2 $. quando superi l'angolo di $pi/4$ hai $ \sqrt2 < \rho < 2\sqrt2 \cos\theta $. di conseguenza per trovare l'intervallo di integrazione su $theta$ devi tenere presente che $2\sqrt2 \cos\theta > \sqrt2$ (l'angolo deve essere maggiore di $pi/4$, altrimenti c'è qualche errore).
potevi trovare gli estremi anche con un po' di geometria analitica, come ha suggerito legendre
ti faccio presente che nel pezzo di corona circolare (fino all'angolo $pi/4$) hai $ sqrt2 < \rho < 2 $. quando superi l'angolo di $pi/4$ hai $ \sqrt2 < \rho < 2\sqrt2 \cos\theta $. di conseguenza per trovare l'intervallo di integrazione su $theta$ devi tenere presente che $2\sqrt2 \cos\theta > \sqrt2$ (l'angolo deve essere maggiore di $pi/4$, altrimenti c'è qualche errore).
potevi trovare gli estremi anche con un po' di geometria analitica, come ha suggerito legendre
"enr87":
sì, poi devi tenere conto che ti manca il pezzetto da $pi/4$ in su.
ti faccio presente che nel pezzo di corona circolare (fino all'angolo $pi/4$) hai $ sqrt2 < \rho < 2 $. quando superi l'angolo di $pi/4$ hai $ \sqrt2 < \rho < 2\sqrt2 \cos\theta $. di conseguenza per trovare l'intervallo di integrazione su $theta$ devi tenere presente che $2\sqrt2 \cos\theta > \sqrt2$ (l'angolo deve essere maggiore di $pi/4$, altrimenti c'è qualche errore).
potevi trovare gli estremi anche con un po' di geometria analitica, come ha suggerito legendre
risolvendo la disequazione $2\sqrt2 \cos\theta > \sqrt2$ ottengo $theta
$int_sqrt(2)^2rhod\rhoint_(0)^(pi/4)cos\thetad\theta+int_(sqrt2)^(2sqrt2cos\theta)rhodrhoint_(pi/3)^(pi)cos\thetad\theta$
giusto?
[edit]
adesso dovrebbe andare
no, riguarda meglio il secondo addendo. attento all'ordine di integrazione e agli estremi
"enr87":
no, riguarda meglio il secondo addendo. attento all'ordine di integrazione e agli estremi
adesso credo che va
no, ti stai perdendo in un bicchiere d'acqua. correggiamo una cosa alla volta, cominciamo con l'ordine di integrazione: se lasciassi così l'integrale in $d rho$ ti uscirebbe una funzione di $theta$. ci sei fin qua?
a scanso equivoci, è corretto che esca uan fuzione di theta, ma se sta lì non sta nel posto giusto..
a scanso equivoci, è corretto che esca uan fuzione di theta, ma se sta lì non sta nel posto giusto..
"enr87":
no, ti stai perdendo in un bicchiere d'acqua. correggiamo una cosa alla volta, cominciamo con l'ordine di integrazione: se lasciassi così l'integrale in $d rho$ ti uscirebbe una funzione di $theta$. ci sei fin qua?
a scanso equivoci, è corretto che esca uan fuzione di theta, ma se sta lì non sta nel posto giusto..
già vero che studpido.quindi si deve invertire altrimenti esce fuori una funzione in $theta$
$int_sqrt(2)^2rhod\rhoint_(0)^(pi/4)cos\thetad\theta+int_(pi/3)^(pi/2)cos\thetad\thetaint_(sqrt2)^(2sqrt2cos\theta)rhodrho$
e poi è $pi/2$ anzichè $pi$
il $d theta$ si mette dopo il $d rho$.. fai attenzione! nel primo integrale non era necessario avere questa accortezza perchè stai integrando su un rettangolo (nelle coordinate polari). eventualmente ridatti un'occhiata alla teoria.
ora correggiamo gli estremi: il primo integrale aveva come estremi dell'angolo $0$ e $pi/4$. non capisco perchè il secondo deve iniziare da $pi/3$. guarda la figura se ce l'hai sottomano, così capisci subito il tuo errore
ora correggiamo gli estremi: il primo integrale aveva come estremi dell'angolo $0$ e $pi/4$. non capisco perchè il secondo deve iniziare da $pi/3$. guarda la figura se ce l'hai sottomano, così capisci subito il tuo errore
"enr87":
il $d theta$ si mette dopo il $d rho$.. fai attenzione! nel primo integrale non era necessario avere questa accortezza perchè stai integrando su un rettangolo (nelle coordinate polari). eventualmente ridatti un'occhiata alla teoria.
ora correggiamo gli estremi: il primo integrale aveva come estremi dell'angolo $0$ e $pi/4$. non capisco perchè il secondo deve iniziare da $pi/3$. guarda la figura se ce l'hai sottomano, così capisci subito il tuo errore
ah già vero che erroracci sarà la stanchezza.pensavo che fosse $pi/3$ perchè ti riferivi ad un valore dell'angolo maggiore di $pi/4$ allora l'estremo è $pi/4$
$int_sqrt(2)^2rhod\rhoint_(0)^(pi/4)cos\thetad\theta+int_(pi/4)^(pi/2)cos\thetaint_(sqrt2)^(2sqrt2cos\theta)rhodrhod\theta$
bhè ci siamo quasi.. in un post prima ti ho detto di guardare per quale theta si otteneva che $2\sqrt2 \cos(theta) > sqrt2$, e giustamente hai detto che la disuguaglianza vale per $theta$ minore di 60.. allora a noi interessa vedere cosa succede nell'intervallo (45, 60), perchè a partire dall'angolo 45 fino all'angolo 60, $rho$ varia in funzione di $theta$ (questo giustifica il fatto che all'estremo superiore dell'integrale in $d rho$ hai una funzione di $theta$). e tutto torna. hai seguito fin qua?
[edit] ho visto che hai scritto correttamente l'integrale ora..
comunque ti consiglio di guardare il disegno, altrimenti è difficile da capire
[edit] ho visto che hai scritto correttamente l'integrale ora..
comunque ti consiglio di guardare il disegno, altrimenti è difficile da capire
"enr87":
bhè ci siamo quasi.. in un post prima ti ho detto di guardare per quale theta si otteneva che $2\sqrt2 \cos(theta) > sqrt2$, e giustamente hai detto che la disuguaglianza vale per $theta$ minore di 60.. allora a noi interessa vedere cosa succede nell'intervallo (45, 60), perchè a partire dall'angolo 45 fino all'angolo 60, $rho$ varia in funzione di $theta$ (questo giustifica il fatto che all'estremo superiore dell'integrale in $d rho$ hai una funzione di $theta$). e tutto torna. hai seguito fin qua?
[edit] ho visto che hai scritto correttamente l'integrale ora..
comunque ti consiglio di guardare il disegno, altrimenti è difficile da capire
si si dal disegno tutto chiaro.ti ringrazio tanto enr87 per la pazienza ma quest'esercizio si poteva fare anche con una diversa metodologia se non erro.facciamo caso che non sapevo rappresentare il dominio.potevo vedere per quali valori $rho<=min(2,2sqrt2cos(theta))$ giusto?
edit
un pò come qui
http://www.matematicamente.it/forum/integrale-triplo-in-coordinate-sferiche-o-cilindriche-t58176.html
bhè mettiamoci la ciliegina sulla torta 
$int_(pi/4)^(pi/3)cos\thetaint_(sqrt2)^(2sqrt2cos\theta)rhodrhod\theta$
così è scritto giusto pure l'estremo superiore.
per quanto riguarda la tua domanda, io sono contrario all'uso di metodi sistematici perchè preferisco ragionare con calma sulle cose (anche se a volte richiede più tempo). potevi fare così, ma ti manca la limitazione per $2\sqrt2 cos(\theta) (> sqrt2)$. comunque stai attento caso per caso, che è decisamente la cosa migliore da fare
[edit] scusa, avevo sbagliato a battere.. riguardalo ora l'integrale..
ho iniziato a studiarli solo oggi quelli tripli, magari quel topic lo leggo tra qualche giorno
$int_(pi/4)^(pi/3)cos\thetaint_(sqrt2)^(2sqrt2cos\theta)rhodrhod\theta$
così è scritto giusto pure l'estremo superiore.
per quanto riguarda la tua domanda, io sono contrario all'uso di metodi sistematici perchè preferisco ragionare con calma sulle cose (anche se a volte richiede più tempo). potevi fare così, ma ti manca la limitazione per $2\sqrt2 cos(\theta) (> sqrt2)$. comunque stai attento caso per caso, che è decisamente la cosa migliore da fare
[edit] scusa, avevo sbagliato a battere.. riguardalo ora l'integrale..
ho iniziato a studiarli solo oggi quelli tripli, magari quel topic lo leggo tra qualche giorno
quindi l'integrale completo è questo
$int_sqrt(2)^2rhod\rhoint_(0)^(pi/4)cos\thetad\theta+int_(pi/4)^(pi/3)cos\thetaint_(sqrt2)^(2sqrt2cos\theta)rhodrhod\theta$
$int_sqrt(2)^2rhod\rhoint_(0)^(pi/4)cos\thetad\theta+int_(pi/4)^(pi/3)cos\thetaint_(sqrt2)^(2sqrt2cos\theta)rhodrhod\theta$
così pare.. hai le soluzioni per caso?
"enr87":
così pare.. hai le soluzioni per caso?
purtroppo no
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