Grafico esponenziale deducibile
Ciao a tutti !
Posto in questa sezione per quanto la domanda potrebbe rientrare tranquillamente in "secondaria di secondo grado". Oggi ho un dubbio banale del quale, però, non sono riuscito a venire a capo. La domanda è questa:
studiata la funzione $f(x)=(x^2-4)/(x^2-1)$ il cui grafico è il seguente
rappresentare graficamente la funzione $g(x)=e^f(x)$.
Una porzione di grafico è la seguente:
Ciò che non riesco a capire è: come faccio a vedere che la funzione cambia concavità e, dunque, presenta un flesso, solo guardando il grafico di f(x) ? Perché non può avere concavità verso il basso in $(1;+infty)$ ?
Grazie sin da ora a quanti risponderanno.
Saluti
Posto in questa sezione per quanto la domanda potrebbe rientrare tranquillamente in "secondaria di secondo grado". Oggi ho un dubbio banale del quale, però, non sono riuscito a venire a capo. La domanda è questa:
studiata la funzione $f(x)=(x^2-4)/(x^2-1)$ il cui grafico è il seguente
rappresentare graficamente la funzione $g(x)=e^f(x)$.
Una porzione di grafico è la seguente:
Ciò che non riesco a capire è: come faccio a vedere che la funzione cambia concavità e, dunque, presenta un flesso, solo guardando il grafico di f(x) ? Perché non può avere concavità verso il basso in $(1;+infty)$ ?
Grazie sin da ora a quanti risponderanno.
Saluti
Risposte
Dal grafico deduciamo che $e^f(x)$ è una funzione limitata $0
Ciao @Bokonon !
Innanzitutto grazie per la risposta, tuttavia non ti nascondo che ancora non mi è chiaro. Il fatto della limitatezza, dell'esponente negativo e positivo e dell'asintoto mi era chiaro, ma non capisco ancora da dove dedurre che la funzione ha un flesso e dunque cambia concavità. Il flesso non mi sembra legato al passaggio dell'esponente da negativo a positivo, o meglio, l'ascissa del flesso non coincide col valore 2 di passaggio dell'esponente dal negativo al positivo, per cui il mio dubbio rimane.
Innanzitutto grazie per la risposta, tuttavia non ti nascondo che ancora non mi è chiaro. Il fatto della limitatezza, dell'esponente negativo e positivo e dell'asintoto mi era chiaro, ma non capisco ancora da dove dedurre che la funzione ha un flesso e dunque cambia concavità. Il flesso non mi sembra legato al passaggio dell'esponente da negativo a positivo, o meglio, l'ascissa del flesso non coincide col valore 2 di passaggio dell'esponente dal negativo al positivo, per cui il mio dubbio rimane.
Il punto è che la funzione (sempre crescente e limitata per le osservazioni fatte) passa da una forma $y=1/e^x$ alla forma speculare $y=e^x$. La concavità deve invertirsi ad un dato $x=a$, no ?
Mi dispiace @Bokonon, apprezzo davvero lo sforzo, ma ancora brancolo nel buio. Se considero le funzioni base $e^x$ e $1/e^x$ esse sono sì speculari, ma rispetto all'asse delle ordinate e hanno anche stessa concavità. Ancora non mi è chiaro rispetto a cosa $e^f(x)$ e $1/e^f(x)$ dovrebbero essere speculari e per quale motivo.
Per speculari, intendevo "concavità speculari".
Ricordiamo che entrambe le funzioni $e^f(x)$ e $1/e^f(x)$ sono monotone crescenti e quindi non possono avere la medesima concavità.
Insomma non intendevo certo la riflessione rispetto all'asse y quando parlavo di "tipi".
Francamente non vedo alternative usando solo il grafico
Ricordiamo che entrambe le funzioni $e^f(x)$ e $1/e^f(x)$ sono monotone crescenti e quindi non possono avere la medesima concavità.
Insomma non intendevo certo la riflessione rispetto all'asse y quando parlavo di "tipi".
Francamente non vedo alternative usando solo il grafico
Grazie ancora @Bokonon, anche della pazienza ! Rifletterò bene su quanto detto, almeno ho qualcosa su cui pensare.
Se posso avrei solo un'ultima domanda: c'è qualche teorema, enunciato o dimostrazione che permetta di concludere che due funzioni monotone una reciproca dell'altra non possono avere medesima concavità ?
Saluti
Se posso avrei solo un'ultima domanda: c'è qualche teorema, enunciato o dimostrazione che permetta di concludere che due funzioni monotone una reciproca dell'altra non possono avere medesima concavità ?
Saluti
Bada bene che le pseudo due funzioni sono definite in due intervalli diversi...quindi non credo proprio che esista un teorema.
E comunque se potessimo usare il calcolo allora è facile dimostrare che $g'(x)=f'(x)g(x)$ e poiché entrambe le funzioni sono sempre positive allora $g'(x)>0$
E poi i due limiti $lim_(x->1^+ +oo) g'(x)=0$ per cui la funzione (limitata) deve avere un flesso.
E comunque se potessimo usare il calcolo allora è facile dimostrare che $g'(x)=f'(x)g(x)$ e poiché entrambe le funzioni sono sempre positive allora $g'(x)>0$
E poi i due limiti $lim_(x->1^+ +oo) g'(x)=0$ per cui la funzione (limitata) deve avere un flesso.
Grazie ancora @Bokonon ! Ti dico la verità, con questa spiegazione
mi pare chiaro.
"Bokonon":
E poi i due limiti $ lim_(x->1^+ +oo) g'(x)=0 $ per cui la funzione (limitata) deve avere un flesso.
mi pare chiaro.
Prego!
Per la verità ci ho pensato ancora un po' su stamattina in vaporetto (perché ho sempre la sensazione che mi sia sfuggito qualcosa di ovvio), ma niente.
Magari qualcunaltro potrebbe saltare fuori con la soluzione chiara su come si possa affermare che esiste un flesso dal solo grafico.
Per la verità ci ho pensato ancora un po' su stamattina in vaporetto (perché ho sempre la sensazione che mi sia sfuggito qualcosa di ovvio), ma niente.
Magari qualcunaltro potrebbe saltare fuori con la soluzione chiara su come si possa affermare che esiste un flesso dal solo grafico.
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