Gradiente ortogonale alle curve di livello

[cseil]

Buongiorno.
In una prova d'esame del mio corso di laurea c'è un esercizio sulle funzioni a più variabili e sul gradiente, che non riesco a capire come svolgere.

La funzione da studiare è questa:

$ f(x,y)= sqrt(y-x^2) $

Devo studiarne l'insieme di definizione, il segno, devo verificare che le curve di livello siano regolari e che il vettore gradiente sia ortogonale alla curva di livello passante per $ P_0= (x_0, y_0) $

Tutto l'esercizio mi è chiaro, ma come fare a capire quando il vettore gradiente è ortogonale alla curva di livello?

[Emar1]

"cseil":Tutto l'esercizio mi è chiaro, ma come fare a capire quando il vettore gradiente è ortogonale alla curva di livello?

Non si tratta tanto di capire quando il gradiente è ortogonale agli insiemi di livello, dato che lo è sempre, ma bensì di un modo per verificarlo.

Così su due piedi io proverei così:
1) Scrivi la curva di livello in forma parametrica \(\mathbf{r}(t)\)
2) Calcola la derivata \(\mathbf{r}'(t)\), il vettore che, al variare di \(t\), è sempre tangente alla curva di livello
3) Verifica che \(\langle \nabla f ,\mathbf{r}'\rangle\) sia zero

EDIT Corretto, avevo scritto ortogonale anziché tangente

[cseil]

Ciao, con l'ultima simbologia cosa intendi? Non la utilizzo e non capisco

[Emar1]

Prodotto scalare \(\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y}\).

[cseil]

Ti ringrazio moltissimo