Gradiente in coordinate sferiche

[5mrkv]

Non mi sono chiari i passaggi di questo tipo:

$\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial \rho}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \rho}+\frac{\partial \varphi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \varphi}+\frac{\partial \theta}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \theta}$

Nella derivazione della formula link

[_prime_number]

E' la regola della catena, la trovi in qualunque libro di analisi o su Wikipedia.

Paola

[gugo82]

"prime_number":E' la regola della catena

Ossia, il teorema di derivazione delle funzioni composte.

[5mrkv]

Ok, lo conosco. Ho $f(x,y,z)$. Con un cambiamento di variabili

$x=\rho sin \theta cos \varphi$
$y=\rho sin \theta sin \varphi$
$z=cos \theta$

$\rho=\rho(x,y,z)$
$\varphi=\varphi(x,y,z)$
$\theta=\theta(x,y,z)$

Diventa $f(\rho, \theta, \varphi)=f(\rho(x,y,z), \theta(x,y,z), \varphi(x,y,z))$? Allora

$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial \rho}\frac{\partial \rho}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial \varphi}\frac{\partial \varphi}{\partial x}$
$\frac{\partial }{\partial x}=\frac{\partial \rho}{\partial x}\frac{\partial }{\partial \rho}+\frac{\partial \theta}{\partial x}\frac{\partial }{\partial \theta}+\frac{\partial \varphi}{\partial x}\frac{\partial }{\partial \varphi}$

[gugo82]

Certo.