Gradiente e derivata funzionale
Salve a tutti ,vorrei sapere se il procedimento seguente è corretto:
Questa è l'operazione da eseguire:
$\nabla_i f(\vec{r},\phi,\nabla_i\nabla_j^2\phi)$
ove $\nabla_i$ rappresenta l'operatore gradiente applicato lungo l'i-esima direzione e $\phi$ è uno scalare; la funzione f da differenziare è a sua volta dipendente dalle variabili espresse in parantesi($\vec{r}$ è il vettore posizione).
Avevo pensato di:
$\nabla_i f(\vec{r},\phi,\nabla_i\nabla_j^2\phi)=\frac{d f(\vec{r},\phi,\nabla_i\nabla_j^2\phi)}{d \phi} \nabla_i\phi$
con $\frac{d}{d\phi}$ intesa come derivata totale, per poi sviluppare la derivata funzionale.
Il dubbio è sulla liceità della derivazione totale secondo $\phi$,non essendo quest'ultima l'unica variabile indipendente.
Vi ringrazio cortesemente dell'aiuto e arrivederci.
Questa è l'operazione da eseguire:
$\nabla_i f(\vec{r},\phi,\nabla_i\nabla_j^2\phi)$
ove $\nabla_i$ rappresenta l'operatore gradiente applicato lungo l'i-esima direzione e $\phi$ è uno scalare; la funzione f da differenziare è a sua volta dipendente dalle variabili espresse in parantesi($\vec{r}$ è il vettore posizione).
Avevo pensato di:
$\nabla_i f(\vec{r},\phi,\nabla_i\nabla_j^2\phi)=\frac{d f(\vec{r},\phi,\nabla_i\nabla_j^2\phi)}{d \phi} \nabla_i\phi$
con $\frac{d}{d\phi}$ intesa come derivata totale, per poi sviluppare la derivata funzionale.
Il dubbio è sulla liceità della derivazione totale secondo $\phi$,non essendo quest'ultima l'unica variabile indipendente.
Vi ringrazio cortesemente dell'aiuto e arrivederci.
Risposte
Bé, mi sembra che manchi tutto. Se ho capito bene indichi con $\nabla_i=\frac{\partial}{\partial x^i}$ e $\phi$ è una funzione scalare (se fosse solo uno scalare, le sue derivate sarebbero nulle). Anche $f$ è una funzione scalare, dipendente dai vari parametri. Qui si tratta di applicare la regola della catena considerando che più di una delle variabili da cui dipende $f$ dipende anche da $x^i$. Indicando con $D_1,\ D_2,\ D_3$ le derivate della $f$ rispetto alle sue variabili, avendo pensato $f=f(X_1,X_2,X_3)$ con $X_1=\vec{r},\ X_2=\phi,\ X_3=\nabla_i\nabla_j^2\phi$, direi che si ha
$$\nabla_i f=D_1 f\cdot\frac{\partial \vec{r}}{\partial x^i}+D_2 f\cdot\frac{\partial\phi}{\partial x^i}+D_3 f\cdot\frac{\partial^4\phi}{\partial (x^i)^2\partial(x^j)^2}$$
questo semre se ho capito bene cosa intendi con le varie simbologie.
$$\nabla_i f=D_1 f\cdot\frac{\partial \vec{r}}{\partial x^i}+D_2 f\cdot\frac{\partial\phi}{\partial x^i}+D_3 f\cdot\frac{\partial^4\phi}{\partial (x^i)^2\partial(x^j)^2}$$
questo semre se ho capito bene cosa intendi con le varie simbologie.
In effetti sulla simbologia non ho fatto molta chiarezza, ti chiedo scusa; il mio problema è che non so se la regola della catena è applicabile anche nel caso in cui $X_1$,$X_2$,$X_3$ sono tra di loro dipendenti.....
Un esempio per chiarire; prendi l'entalpia di un fluido $h(T,P)$ ovvero essa è funzione della temperatura e pressione del sistema e calcola:
$\nabla(h(T,P) T)=T\nablah[T,P]_T+[\frac{\partial(h(T,P)T)}{\partial T}]_P\nablaT$
Il nocciolo della questione è se il gradiente di una funzione scalare a sua volta dipendente da $\phi$ e $\nabla^2\phi$ si possa derivare nel modo da te descritto oppure no.
In caso negativo se è possibile applicare la derivata funzionale previo(vedi il passaggio nel post precedente).
Un esempio per chiarire; prendi l'entalpia di un fluido $h(T,P)$ ovvero essa è funzione della temperatura e pressione del sistema e calcola:
$\nabla(h(T,P) T)=T\nablah[T,P]_T+[\frac{\partial(h(T,P)T)}{\partial T}]_P\nablaT$
Il nocciolo della questione è se il gradiente di una funzione scalare a sua volta dipendente da $\phi$ e $\nabla^2\phi$ si possa derivare nel modo da te descritto oppure no.
In caso negativo se è possibile applicare la derivata funzionale previo(vedi il passaggio nel post precedente).
Ah ecco, mi sembrava ci fosse un po' di ridondanza. Ora come ora non so risponderti: magari qualcun'altro è più ferrato di me sulla questione.
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