Gradiente di integrale
ciao a tutti, devo trovare la natura dei punti critici di questa funzione:
$ f( x,y) = int_(1)^(2) e^(xyt^2)dt $
per prima cosa ovviamente serve il gradiente, ma non saprei come calcolarmelo... posso sfruttare il fatto che la funzione è crescente?
$ f( x,y) = int_(1)^(2) e^(xyt^2)dt $
per prima cosa ovviamente serve il gradiente, ma non saprei come calcolarmelo... posso sfruttare il fatto che la funzione è crescente?
Risposte
Ma no, quale funzione sarebbe crescente? Cosa significa essere "crescente", per una funzione di più variabili? Non significa niente.
Piuttosto, deriva sotto il segno di integrale.
Piuttosto, deriva sotto il segno di integrale.
mmh, se derivo prima rispetto a x e poi rispetto a y ottengo questo:
$nabla f = (int_(1)^(2) e^(xyt^2) yt^2 dt; int_(1)^(2) e^(xyt^2) xt^2 dt) $
che dovrebbe essere giusto, posso fare lo stesso per calcolare l'hessiana. però i punti critici? come li trovo? mettere uguale a zero il gradiente mi pare difficile...
$nabla f = (int_(1)^(2) e^(xyt^2) yt^2 dt; int_(1)^(2) e^(xyt^2) xt^2 dt) $
che dovrebbe essere giusto, posso fare lo stesso per calcolare l'hessiana. però i punti critici? come li trovo? mettere uguale a zero il gradiente mi pare difficile...
E perchè mai ti pare difficile?
Ricorda che tutto ciò che è costante rispetto a [tex]$t$[/tex] (che è la variabile d'integrazione) può essere portato fuori dall'integrale.
Ricorda che tutto ciò che è costante rispetto a [tex]$t$[/tex] (che è la variabile d'integrazione) può essere portato fuori dall'integrale.
ok, ma posso portare fuori solo una y o una x! mi resta sempre
$ int_(1)^(2) e^(xyt^2) t^2 dt $
probabilmente mi sto perdendo in un bicchier d'acqua, ma sono un po' fuso, ho l'esame domani e mi secca avere stu dubbi stupidi
$ int_(1)^(2) e^(xyt^2) t^2 dt $
probabilmente mi sto perdendo in un bicchier d'acqua, ma sono un po' fuso, ho l'esame domani e mi secca avere stu dubbi stupidi
La funzione [tex]$\phi (x,y,t):=e^{xyt^2}t^2$[/tex] è positiva in [tex]$\mathbb{R}^2\times [1,2]$[/tex], quindi il suo integrale rispetto a [tex]$t$[/tex] esteso a [tex]$[1,2]$[/tex] è...
Riporto su questa discussione perchè è in linea con la domanda che vorrei fare:
Dato il \(\displaystyle\bigtriangledown \) \(\displaystyle f(1,1) \) sia
\(\displaystyle f(x,y)=\int \) \(\displaystyle cos(xt^2) \) [Integrale tra x e y ma non sapevo come metterlo
)
Provando lo svolgimento sia sotto che fuori segno d'integrale,l'integrale mi viene non integrabile.Sbaglio qualcosa teoricamente,oppure è altro?Grazie
Dato il \(\displaystyle\bigtriangledown \) \(\displaystyle f(1,1) \) sia
\(\displaystyle f(x,y)=\int \) \(\displaystyle cos(xt^2) \) [Integrale tra x e y ma non sapevo come metterlo
)Provando lo svolgimento sia sotto che fuori segno d'integrale,l'integrale mi viene non integrabile.Sbaglio qualcosa teoricamente,oppure è altro?Grazie
Si, sbagli qualcosa teoricamente, non è possibile che vengano fuori cose non integrabili.
La funzione assegnata è:
\[
f(x,y):= \intop_x^y \cos (xt^2)\ \text{d} t\; ,
\]
ed, a quanto ho capito (dato che il testo dell'esercizio è riportato in maniera del tutto incomprensibile), devi determinare il gradiente di $f$ in un punto assegnato.
Nota che dal Teorema di Derivazione sotto il Segno d'Integrale, dal Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale e dal Teorema di Derivazione delle Funzioni Composte si può tirare fuori il risultato che segue:
Quindi ti basta applicare le formule e calcolare un paio d'integrali definiti di una variabile.
\[
f(x,y):= \intop_x^y \cos (xt^2)\ \text{d} t\; ,
\]
ed, a quanto ho capito (dato che il testo dell'esercizio è riportato in maniera del tutto incomprensibile), devi determinare il gradiente di $f$ in un punto assegnato.
Nota che dal Teorema di Derivazione sotto il Segno d'Integrale, dal Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale e dal Teorema di Derivazione delle Funzioni Composte si può tirare fuori il risultato che segue:
Siano \(\phi:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}\) e \(\alpha, \beta:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) di classe $C^1$ (sciala popolo!).
La funzione:
\[
f(x,y):= \intop_{\alpha (x,y)}^{\beta (x,y)} \phi (x,y,t)\ \text{d} t
\]
è di classe $C^1$ e si ha:
\[
\begin{split}
f_x (x,y) &= \beta_x (x,y)\ \phi (x,y,\beta (x,y)) -\alpha_x (x,y)\ \phi (x,y,\alpha (x,y)) + \intop_{\alpha (x,y)}^{\beta (x,y)} \phi_x (x,y,t)\ \text{d} t\\
f_y (x,y) &= \beta_y (x,y)\ \phi (x,y,\beta (x,y)) -\alpha_y (x,y)\ \phi (x,y,\alpha (x,y)) + \intop_{\alpha (x,y)}^{\beta (x,y)} \phi_y (x,y,t)\ \text{d} t\; .
\end{split}
\]
Quindi ti basta applicare le formule e calcolare un paio d'integrali definiti di una variabile.
Grazie mille
Ti meraviglierà sapere che è precisamente il testo di un esame,quindi pensa come era comprensibile per me
(dato che il testo dell'esercizio è riportato in maniera del tutto incomprensibile)
Ti meraviglierà sapere che è precisamente il testo di un esame,quindi pensa come era comprensibile per me
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