Gli o piccoli
ciao non capisco gli o piccoli. cioè ok quello che dicono i libri l'ho letto e capito sarebbe una funzione che tende a zero per $xto0$ ma potete dirmi operativamente quando devo usarli e come. cioè perchè posso sostiture gli o piccoli a certe funzioni? cioè non so...posso farlo? grazie mille
Risposte
Ciao provo a risponderti io sperando di non dire castronerie 
ok ricordiamo la definizione di o-piccolo:
"si dice che una funzione $f(x)$ è un o-piccolo di $g(x)$ se $lim_{x->oo}\frac{f(x)}{g(x)}=0$ e si incica con $f(x)=o(g(x))$" in pratica, per $x->oo$ la funzione $f(x)$ va zero più velocemente della funzione $g(x)$.
se per esempio vuoi sviluppare la funzione $sen(x)$ in serie di Taylor centrata in 0 ovviamente ottieni:
$sen(x)~~\sum_{n=0}^{oo}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$ e così via
se, tuttavia, tu volessi troncare l'approssimazione di $sen(x)$ a $n=2$ scriveresti:
$sen(x)~~\sum_{n=0}^{2}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(\frac{x^6}{6!})$ e con o($g(x)$) che in questo caso è $g(x)=\frac{x^6}{6!}$ hai la possiilità di stimare l'errore che commetti nell'approssimazione e cercare a quale passo n devi fermarti nello sviluppo di taylor per avere un errore a meno di 0,0001 (per esempio)
ovviamente esiste una precisa algebra degli o-piccoli:
per esempio se ti ritrovi un limite in cui $sen(x)$ deve essere necessariamente sviluppato in serie di taylor per risolvere il limite puoi fermarti per esempio allo sviluppo $x-\frac{x^3}{3!}+o(\frac{x^4}{4!})$ e se magari ti ritrovi anche che a $sen(x)$ era sommato anche un termine di ordine più grande (es: $x^5$) allora puoi "inglobare" quell' $x^5$ dentro l'o-piccolo in quanto $lim_{x->oo}\frac{x^4}{x^5}=0$.
Se non sono stato chiaro in quest'ultimo esempio dimmelo che provo a rimediare..ora sono un pò di fretta..ciaoooo
ok ricordiamo la definizione di o-piccolo:
"si dice che una funzione $f(x)$ è un o-piccolo di $g(x)$ se $lim_{x->oo}\frac{f(x)}{g(x)}=0$ e si incica con $f(x)=o(g(x))$" in pratica, per $x->oo$ la funzione $f(x)$ va zero più velocemente della funzione $g(x)$.
se per esempio vuoi sviluppare la funzione $sen(x)$ in serie di Taylor centrata in 0 ovviamente ottieni:
$sen(x)~~\sum_{n=0}^{oo}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$ e così via
se, tuttavia, tu volessi troncare l'approssimazione di $sen(x)$ a $n=2$ scriveresti:
$sen(x)~~\sum_{n=0}^{2}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(\frac{x^6}{6!})$ e con o($g(x)$) che in questo caso è $g(x)=\frac{x^6}{6!}$ hai la possiilità di stimare l'errore che commetti nell'approssimazione e cercare a quale passo n devi fermarti nello sviluppo di taylor per avere un errore a meno di 0,0001 (per esempio)
ovviamente esiste una precisa algebra degli o-piccoli:
per esempio se ti ritrovi un limite in cui $sen(x)$ deve essere necessariamente sviluppato in serie di taylor per risolvere il limite puoi fermarti per esempio allo sviluppo $x-\frac{x^3}{3!}+o(\frac{x^4}{4!})$ e se magari ti ritrovi anche che a $sen(x)$ era sommato anche un termine di ordine più grande (es: $x^5$) allora puoi "inglobare" quell' $x^5$ dentro l'o-piccolo in quanto $lim_{x->oo}\frac{x^4}{x^5}=0$.
Se non sono stato chiaro in quest'ultimo esempio dimmelo che provo a rimediare..ora sono un pò di fretta..ciaoooo
Il lim x->+oo è solo un caso particolare: in generale una funzione può essere un 'o piccolo' anche per punti al finito.
In generale scriverò che f(x) è un 'o piccolo' di g(x) in x0 se
lim x->x0 [ f(x) / g(x) ] = 0
x0 può essere infinito, come anche un valore appartenente ad |R .
In generale scriverò che f(x) è un 'o piccolo' di g(x) in x0 se
lim x->x0 [ f(x) / g(x) ] = 0
x0 può essere infinito, come anche un valore appartenente ad |R .
si questo l'ho capito solo che non so bene cioè quando sviluppo taylor per il calcolo di un limite devo scrivere anche gli o piccoli? e cmq sia nello studio della sommabilità ecc se evito di considerarli faccio un errore? io pensavo di no visto che sono quantità infinitesime ma non credo si possa. grazie cmq le risposte erano motlo chiare
Secondo passo: definito cos è un 'o piccolo' (o equivalentemente un infinitesimo),
è bene che tu sappia che si definisce un 'ordine' per gli infinitesimi.
Precisamente un infinitesimo è di ordine 'n' se risulta:
lim x->x0 [ f(x) / g(x) ] = lim x->x0 [ f(x) / [(x-x0)^n] ] = 0 ;
è bene che tu sappia che si definisce un 'ordine' per gli infinitesimi.
Precisamente un infinitesimo è di ordine 'n' se risulta:
lim x->x0 [ f(x) / g(x) ] = lim x->x0 [ f(x) / [(x-x0)^n] ] = 0 ;
CORREZIONE.
Secondo passo: definito cos è un 'o piccolo' (o equivalentemente un infinitesimo),
è bene che tu sappia che si definisce un 'ordine' per gli infinitesimi.
Precisamente f(x) è un infinitesimo è di ordine 'n' in x0 se risulta:
lim x->x0 [ f(x) / g(x) ] = lim x->x0 [ f(x) (x-x0)^n ] = 0 ;
con g(x) = 1 / [ (x-x0)^n ] ;
Secondo passo: definito cos è un 'o piccolo' (o equivalentemente un infinitesimo),
è bene che tu sappia che si definisce un 'ordine' per gli infinitesimi.
Precisamente f(x) è un infinitesimo è di ordine 'n' in x0 se risulta:
lim x->x0 [ f(x) / g(x) ] = lim x->x0 [ f(x) (x-x0)^n ] = 0 ;
con g(x) = 1 / [ (x-x0)^n ] ;
si se eviti di considerarli per me fai un errore..tanto più che come hai visto nello studio dei limiti usando lo sviluppo di taylor sono essenziali per far "sparire" alcuni termini che non portano contributo alla risoluzione del limite....in definitiva gli o-piccoli ti dicono l'errore della tua approssimazione di taylor della tua funzione considerata e non può essere trascurato.
capisco. mi potresti fare un esempio di come spariscono le funzioni. io non riesco a ragiorarci su sti o piccoli. scusate.. è una cosa che proprio non mi entra in testa
Supponi di avere una funzione f(x) che ti è data come somma di funzioni:
$f(x) = (x-5)^2 + 4*(x-5)^3$
e che tu voglia sapere qual è il comportamento della funzione in $x = 5$.
Allora ragiona così: la funzione è composta dalla somma di due termini infinitesimi ('o piccoli') dato che
$lim_(x->5)((x-5)^2) = 0$ In particolare l'ordine di questo infinitesimo è 2.
$lim_(x->5)(4*(x-5)^3) = 0$ In particolare l'ordine di questo infinitesimo è 3.
Quindi ti puoi avvalere della seguente scrittura:
$f(x) = o((x-5)^2) + o((x-5)^3)$
Ci siamo fin qui?
$f(x) = (x-5)^2 + 4*(x-5)^3$
e che tu voglia sapere qual è il comportamento della funzione in $x = 5$.
Allora ragiona così: la funzione è composta dalla somma di due termini infinitesimi ('o piccoli') dato che
$lim_(x->5)((x-5)^2) = 0$ In particolare l'ordine di questo infinitesimo è 2.
$lim_(x->5)(4*(x-5)^3) = 0$ In particolare l'ordine di questo infinitesimo è 3.
Quindi ti puoi avvalere della seguente scrittura:
$f(x) = o((x-5)^2) + o((x-5)^3)$
Ci siamo fin qui?
molto chiaro.
"gaetano85":
Supponi di avere una funzione f(x) che ti è data come somma di funzioni:
$f(x) = (x-5)^2 + 4*(x-5)^3$
e che tu voglia sapere qual è il comportamento della funzione in $x = 5$.
Allora ragiona così: la funzione è composta dalla somma di due termini infinitesimi ('o piccoli') dato che
$lim_(x->5)((x-5)^2) = 0$ In particolare l'ordine di questo infinitesimo è 2.
$lim_(x->5)(4*(x-5)^3) = 0$ In particolare l'ordine di questo infinitesimo è 3.
Quindi ti puoi avvalere della seguente scrittura:
$f(x) = o((x-5)^2) + o((x-5)^3)$
Ci siamo fin qui?
Scusate se mi intrometto, ma da che io sappia, una funzione non è nell'o piccolo di sé stessa. Cioè, $(x-5)^2$ non sta in $o((x-5)^2)$, e $(x-5)^3$ non sta in $o((x-5)^3)$.
Poi magari ho capito male io.
Bene.
Devi sapere inoltre che una somma (o equivalentemente una differenza) di 'o piccoli' la puoi sostuire con la funzione 'o piccolo' di ordine più basso.
In formule si scrive che:
$ f(x) = o( (x-x0)^n ) + o( (x-x0)^m ) = o(x-x0)^(min[n,m]) $
Quindi nel nostro esempio
$ f(x) = o( (x-5)^2) = (x-5)^2 $
E' sotto questo punto di vista che vengono trascurate certe funzioni; nel nostro esempio abbiamo trscurato la funzione
$o(4(x-5)^3)$ perchè, tra i due infinitesimi, è quello di ordine più alto.
Ci siamo?
Devi sapere inoltre che una somma (o equivalentemente una differenza) di 'o piccoli' la puoi sostuire con la funzione 'o piccolo' di ordine più basso.
In formule si scrive che:
$ f(x) = o( (x-x0)^n ) + o( (x-x0)^m ) = o(x-x0)^(min[n,m]) $
Quindi nel nostro esempio
$ f(x) = o( (x-5)^2) = (x-5)^2 $
E' sotto questo punto di vista che vengono trascurate certe funzioni; nel nostro esempio abbiamo trscurato la funzione
$o(4(x-5)^3)$ perchè, tra i due infinitesimi, è quello di ordine più alto.
Ci siamo?
Per Martino:
vuoi dire che la funzione $ f(x) $ non è un infinitesimo per $ x = 5 $ ?
Lo è: quindi è un 'o piccolo' in $ x = 5 $.
vuoi dire che la funzione $ f(x) $ non è un infinitesimo per $ x = 5 $ ?
Lo è: quindi è un 'o piccolo' in $ x = 5 $.
Da quello che so io, una funzione f(x) è nell'o piccolo della funzione g(x) per $x to x_0$ se il rapporto $f(x)/(g(x))$ tende a 0 quando $x to x_0$. Quindi per esempio $x^2$ è un o piccolo di $x$ per $x to 0$, e $(x-2)^2$ è un o piccolo di $x-2$ quando $x to 2$.
Non sono d'accordo con la scrittura $o((x-5)^2)=(x-5)^2$ perché $(x-5)^2$ non è un o piccolo di $(x-5)^2$ per $x to 5$ (stando alla mia definizione) perché il loro rapporto è identicamente uguale a 1.
Qual è la tua definizione di o piccolo?
Non sono d'accordo con la scrittura $o((x-5)^2)=(x-5)^2$ perché $(x-5)^2$ non è un o piccolo di $(x-5)^2$ per $x to 5$ (stando alla mia definizione) perché il loro rapporto è identicamente uguale a 1.
Qual è la tua definizione di o piccolo?
Ok, ma l'imprecisione non è sostanziale ma formale.
Comunque grazie: ho messo l'esponente nell' 'o piccolo' per idntificare l'ordine dell'infinitesimo.
Comunque grazie: ho messo l'esponente nell' 'o piccolo' per idntificare l'ordine dell'infinitesimo.
Scusa se insisto ma non capisco questa definizione:
Con questa definizione infatti $x^2$ è un infinitesimo di ordine n in 0 per ogni numero naturale n, infatti $x^2x^n$ tende a 0 per $x to 0$ per ogni $n geq 0$.
Forse intendevi dire che f è un infinitesimo di ordine n in x0 se $lim_{x to x0} f(x)/((x-x0)^n) = 0$ ? Ma in tal caso per esempio $x^6$ è un infinitesimo di ordine 0, 1, 2, 3, 4, e 5 per $x0 = 0$. Insomma, la nozione di 'ordine di infinitesimo' messa giù così non mi sembra ben definita.
Mi spiace ma non capisco.
"gaetano85":
Precisamente f(x) è un infinitesimo è di ordine 'n' in x0 se risulta:
lim x->x0 [ f(x) / g(x) ] = lim x->x0 [ f(x) (x-x0)^n ] = 0 ;
con g(x) = 1 / [ (x-x0)^n ] ;
Con questa definizione infatti $x^2$ è un infinitesimo di ordine n in 0 per ogni numero naturale n, infatti $x^2x^n$ tende a 0 per $x to 0$ per ogni $n geq 0$.
Forse intendevi dire che f è un infinitesimo di ordine n in x0 se $lim_{x to x0} f(x)/((x-x0)^n) = 0$ ? Ma in tal caso per esempio $x^6$ è un infinitesimo di ordine 0, 1, 2, 3, 4, e 5 per $x0 = 0$. Insomma, la nozione di 'ordine di infinitesimo' messa giù così non mi sembra ben definita.
Mi spiace ma non capisco.
provo a fare un esempio chiarificatore dell'uso dell'o-piccolo:
sia dato $lim_{x->0}\frac{e^x-cosx-x}{x^2}$ si potrebbe usare de l'hopital ma usiamo lo sviluppo di taylor centrato in $0$:
ricordiamo:
$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$
$cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$
quindi:
$lim_{x->0}\frac{1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)-(1-\frac{x^2}{2}+o(x^2))-x}{x^2}=lim_{x->0}\frac{\frac{x^2}{2}+o(x^2)+\frac{x^2}{2}+o(x^2)}{x^2}=lim_{x->0}\frac{x^2+o(x^2)}{x^2}=1$
infatti sarebbe:
$lim_{x->0}\frac{x^2+o(x^2)}{x^2}=lim_{x->0}1+\frac{o(x^2)}{x^2}=1$ in quanto $o(x^2)$ sono tutte quelle funzioni che per $x->0$ (in questo caso) vanno a zero più velocemente di $x^2$ e quindi $lim_{x->0}\frac{o(x^2)}{x^2}=0$.
è più chiaro così?
@gaetano..sinceramente non capisco molto neanche io il fatto di dire che una funzione è un o-piccolo di se stessa...io sapevo più che altro queste formule:
$1) o(x^py^q)=o(sqrt(x^2+y^2))^{(p+q})$
$2) x^py^q=o(sqrt(x^2+y^2))^{p+q-epsilon} per epsilon>0$
questo ovviamente in due variabili
sia dato $lim_{x->0}\frac{e^x-cosx-x}{x^2}$ si potrebbe usare de l'hopital ma usiamo lo sviluppo di taylor centrato in $0$:
ricordiamo:
$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$
$cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$
quindi:
$lim_{x->0}\frac{1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)-(1-\frac{x^2}{2}+o(x^2))-x}{x^2}=lim_{x->0}\frac{\frac{x^2}{2}+o(x^2)+\frac{x^2}{2}+o(x^2)}{x^2}=lim_{x->0}\frac{x^2+o(x^2)}{x^2}=1$
infatti sarebbe:
$lim_{x->0}\frac{x^2+o(x^2)}{x^2}=lim_{x->0}1+\frac{o(x^2)}{x^2}=1$ in quanto $o(x^2)$ sono tutte quelle funzioni che per $x->0$ (in questo caso) vanno a zero più velocemente di $x^2$ e quindi $lim_{x->0}\frac{o(x^2)}{x^2}=0$.
è più chiaro così?
@gaetano..sinceramente non capisco molto neanche io il fatto di dire che una funzione è un o-piccolo di se stessa...io sapevo più che altro queste formule:
$1) o(x^py^q)=o(sqrt(x^2+y^2))^{(p+q})$
$2) x^py^q=o(sqrt(x^2+y^2))^{p+q-epsilon} per epsilon>0$
questo ovviamente in due variabili
ho capito il problema di fondo. e come ci si comporta con gli o piccoli. mi sembrano piuttosto comodi comunque o sbaglio? vi posso chiedere ancora una delucidazione? come faccio a sapere fino a che ordine andare avanti quando sviluppo taylor? cioè perchè sei andato avanti fino al 2? e non di piu? o di meno? grazie
"elijsa":
ho capito il problema di fondo. e come ci si comporta con gli o piccoli. mi sembrano piuttosto comodi comunque o sbaglio? vi posso chiedere ancora una delucidazione? come faccio a sapere fino a che ordine andare avanti quando sviluppo taylor? cioè perchè sei andato avanti fino al 2? e non di piu? o di meno? grazie
L'unica cosa per vedere il grado e svilupparlo, poi t renderai conto sa sola se è melgio andare avanti o no... che io sappia, non c'è una regola precisa.. (il mio prof ha detto così...
)
"Domè89":purtroppo non è cosi. ogni volta vado avanti troppo o troppo poco. io piu che altro cerco di guardare tipo se c'è al denominatore $x^2$,arrivo fino a quello che mi consente di raccogliere $x^2$ cosi da semplificare però capisco che non sempre mi funziona.. ah un'altra cosa quando ho uno sviluppo di taylor tipo $(senx)^2$ faccio quello del seno e poi elevo. però per esempio se voglio avere come resto un $o(x^3)$ nei doppi prodotti tengo solo quelli che hanno grado minore o uguale a $x^3$ e gli altri li posso evitare.giusto? gli o piccoli nei doppi prodotti li evito? per scelta di solito prendo quello "di partenza", ma è una scelta lecita? grazie
, poi t renderai conto sa sola se è melgio andare avanti o no...
domanda legata all'argomento.. ma $(1+x^5) =^? 1+ x^3 + o(x^2)$??
$x^5 = o(x^2) => \frac{x^5}{x^3} \to 0$ per $ x \to 0$
Ciauz
$x^5 = o(x^2) => \frac{x^5}{x^3} \to 0$ per $ x \to 0$
Ciauz
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