Gli integrali superficiali... questi mostri!
Salve a tutti,
mi trovo davanti ad un esercizio che richiede la risoluzione di un integrale superficiale ed è il seguente:
Sia S la porzione di superficie sferica di equazione $x^2+y^2+z^2 = 4$ contenuta nel semispazio $z>=0$, che si proietta nel piano $(O,x,y)$ nel cerchio definito dalla limitazione $x^2+y^2<=3$. Calcolare l'integrale $int_S z(1+x^2+y^2) dsigma$.
Qualcuno può darmi indicazioni su come risolvere quest'esercizio e esercizi come questo??
Ringrazio tutti anticipatamente!
mi trovo davanti ad un esercizio che richiede la risoluzione di un integrale superficiale ed è il seguente:
Sia S la porzione di superficie sferica di equazione $x^2+y^2+z^2 = 4$ contenuta nel semispazio $z>=0$, che si proietta nel piano $(O,x,y)$ nel cerchio definito dalla limitazione $x^2+y^2<=3$. Calcolare l'integrale $int_S z(1+x^2+y^2) dsigma$.
Qualcuno può darmi indicazioni su come risolvere quest'esercizio e esercizi come questo??
Ringrazio tutti anticipatamente!
Risposte
Provo a vedere se riesco a tirar fuori qualcosa di utile (sto studiando anch'io questi argomenti, per cui non sono propiramente un'autorità nel campo).
Di solito comincio col trovare una parametrizzazione della superficie comoda per l'integrazione. In questo caso la semisfera centrata nell'origine di raggio 2 e collocata nel semispazio positivo delle $z$ può essere parametrizzata come
$f(theta,phi)=2(costheta cosphi, costheta senphi, sentheta)$ con $-pi/2<=theta<=pi/2$ e $0<=phi<=2pi$
Il tuo vincolo ti impone che sia
$x^2+y^2<=3$
tenendo conto della parametrizzazione si ha
$x=2costheta cosphi$
$y=2costheta senphi$
perciò il vincolo diventa
$4 cos^2theta cos^2phi + 4cos^2theta sen^2phi <= 3$
$4cos^2theta <= 3$
$-sqrt3/2<=costheta<=sqrt3/2$
ma essendo $0<=theta<=pi/2$ si ha $costheta >= 0$ quindi il vincolo diventa
$0<=costheta<=sqrt3/2$ ovvero $pi/6<=theta<=pi/2$
Quindi la superficie $S$ risulta
$S={(x,y,x) in RR^3 | (x,y,z) = f(theta,phi), \quad pi/6<=theta<=pi/2, \quad 0<=phi<=2pi}$
Risolto questo problema, passo a calcolarmi l'elemento infinitesimo di area $dsigma$ come la norma del vettore ottenuto eseguendo il prodotto vettoriale di $f_(theta)$ e $f_(phi)$ (derivate parziali di $f(theta,phi)$ eseguite, rispettivamente, secondo $theta$ e secondo $phi$)
$dsigma=||f_(theta)Xf_(phi)||d thetadphi$
Si ha
$f_(theta) = 2(-sentheta cosphi, -sentheta senphi, costheta)$
$f_(phi) = 2(-costheta senphi, costheta cosphi, 0)$
e con un po' di conti si trova
$dsigma=4costhetad thetadphi$
Quindi l'integrale diventa
$I=int_0^(2pi)int_(pi/6)^(pi/2)2sentheta(1+4cos^2theta)4costhetad thetadphi=int_0^(2pi)dphi int_(pi/6)^(pi/2)2sentheta(1+4cos^2theta)4costhetad theta=16piint_(pi/6)^(pi/2)sentheta(1+4cos^2theta)costheta d theta$
ed il problema si riduce al calcolo di un integrale in una variabile (non l'ho eseguito ma si vede che eseguendo la moltiplicazione e spezzandolo nella somma di due integrali il calcolo è immediato).
Spero di non aver commesso troppi errori...
Di solito comincio col trovare una parametrizzazione della superficie comoda per l'integrazione. In questo caso la semisfera centrata nell'origine di raggio 2 e collocata nel semispazio positivo delle $z$ può essere parametrizzata come
$f(theta,phi)=2(costheta cosphi, costheta senphi, sentheta)$ con $-pi/2<=theta<=pi/2$ e $0<=phi<=2pi$
Il tuo vincolo ti impone che sia
$x^2+y^2<=3$
tenendo conto della parametrizzazione si ha
$x=2costheta cosphi$
$y=2costheta senphi$
perciò il vincolo diventa
$4 cos^2theta cos^2phi + 4cos^2theta sen^2phi <= 3$
$4cos^2theta <= 3$
$-sqrt3/2<=costheta<=sqrt3/2$
ma essendo $0<=theta<=pi/2$ si ha $costheta >= 0$ quindi il vincolo diventa
$0<=costheta<=sqrt3/2$ ovvero $pi/6<=theta<=pi/2$
Quindi la superficie $S$ risulta
$S={(x,y,x) in RR^3 | (x,y,z) = f(theta,phi), \quad pi/6<=theta<=pi/2, \quad 0<=phi<=2pi}$
Risolto questo problema, passo a calcolarmi l'elemento infinitesimo di area $dsigma$ come la norma del vettore ottenuto eseguendo il prodotto vettoriale di $f_(theta)$ e $f_(phi)$ (derivate parziali di $f(theta,phi)$ eseguite, rispettivamente, secondo $theta$ e secondo $phi$)
$dsigma=||f_(theta)Xf_(phi)||d thetadphi$
Si ha
$f_(theta) = 2(-sentheta cosphi, -sentheta senphi, costheta)$
$f_(phi) = 2(-costheta senphi, costheta cosphi, 0)$
e con un po' di conti si trova
$dsigma=4costhetad thetadphi$
Quindi l'integrale diventa
$I=int_0^(2pi)int_(pi/6)^(pi/2)2sentheta(1+4cos^2theta)4costhetad thetadphi=int_0^(2pi)dphi int_(pi/6)^(pi/2)2sentheta(1+4cos^2theta)4costhetad theta=16piint_(pi/6)^(pi/2)sentheta(1+4cos^2theta)costheta d theta$
ed il problema si riduce al calcolo di un integrale in una variabile (non l'ho eseguito ma si vede che eseguendo la moltiplicazione e spezzandolo nella somma di due integrali il calcolo è immediato).
Spero di non aver commesso troppi errori...
Potresti spiegarmi come ricavarmi la rappresentazione parametrizzata? In quel punto mi blocco sempre... 
Di solito le superfici su cui si chiede di integrare sono "pezzi" di superfici standard (sfere, coni, cilindri, ecc.) la cui parametrizzazione viene illustrata durante il corso o si trova in qualsiasi libro di analisi a piú dimensioni.
Io quella indicata l'ho trovata nelle dispense del mio professore e ho verificato a posteriori facendomi il disegno che fosse geometricamente sensata.
Io quella indicata l'ho trovata nelle dispense del mio professore e ho verificato a posteriori facendomi il disegno che fosse geometricamente sensata.
Grazie mille per il tuo aiuto, Taddeo!
Di niente.
Buona integrazione!
Buona integrazione!
Ragionandoci ho trovato, a patto di non aver commesso errori, un modo più semplice per risolvere l'integrale.
Poiché $z>=0 rArr z^2=4-x^2-y^2 rArr z=sqrt(4-x^2-y^2)$
una rappresentazione parametrica regolare della superficie $S$ è
${(x=u),(y=v),(z=sqrt(4-u^2-v^2))]$
infatti, andando a costruire la matrice jacobiana del tipo:
$[(x_u, y_u, z_u),(x_v,y_v,z_v)] rArr [(1, 0, -u/sqrt(4-u^2-v^2)),(0,1,-v/sqrt(4-u^2-v^2))] rArr u^2/(4-u^2-v^2) + v^2/(4-u^2-v^2) + 1 > 0 AA(u,v) in B$
a questo punto, sfruttando delle opportune sostituzioni si ottiene
$int_Sz(1+x^2+y^2)dsigma = intintsqrt(4-u^2-v^2) (1+u^2+v^2) sqrt(u^2/(4-u^2-v^2) + v^2/(4-u^2-v^2) + 1) dudv$
operando il mcm all'interno della radice, l'integrale diventa
$int int sqrt(4-u^2-v^2) (1+u^2+v^2) sqrt(u^2+v^2+4-u^2-v^2)/sqrt(4-u^2-v^2)) dudv rArr 2int int (1+u^2+v^2)dudv$
per completare il calcolo di quest'integrale, ricorriamo alle coordinate polari. Poiché la superficie sferica si proietta nel cerchio di equazione $x^2+y^2<=3 rArr u^2+v^2<=3$ allora si ha:
${(x=rhocosvartheta),(y=rhosinvartheta)] rArr {(0<=vartheta<=2pi),(0<=u^2+y^2<=3)] rArr {(0<=vartheta<=2pi),(0<=rho^2cos^2vartheta+rho^2sin^2vartheta<=3)] rArr {(0<=vartheta<=2pi),(0<=rho^2(cos^2vartheta+sin^2vartheta)<=3)] rArr {(0<=vartheta<=2pi),(0<=rho<=sqrt(3))]$
quindi l'integrale, mediante coordinate polari, assume la forma:
$2int int_T(1+rho^2cos^2vartheta+rho^2sin^2vartheta)rho drho dvartheta = 2intint_Trho+rho^3drhodvartheta rArr$
$2int_0^(sqrt(3))rho+rho^3(int_0^(2pi)dvartheta)drho = 4piint_0^(sqrt(3))rhodrho + 4piint_0^(sqrt(3))rho^3drho rArr$
$[2pirho^2]_0^(sqrt(3))+[pirho^4]_0^(sqrt(3)) = 15pi$
Non so se può essere utile, ho pensata e postata! Saluti!!
Poiché $z>=0 rArr z^2=4-x^2-y^2 rArr z=sqrt(4-x^2-y^2)$
una rappresentazione parametrica regolare della superficie $S$ è
${(x=u),(y=v),(z=sqrt(4-u^2-v^2))]$
infatti, andando a costruire la matrice jacobiana del tipo:
$[(x_u, y_u, z_u),(x_v,y_v,z_v)] rArr [(1, 0, -u/sqrt(4-u^2-v^2)),(0,1,-v/sqrt(4-u^2-v^2))] rArr u^2/(4-u^2-v^2) + v^2/(4-u^2-v^2) + 1 > 0 AA(u,v) in B$
a questo punto, sfruttando delle opportune sostituzioni si ottiene
$int_Sz(1+x^2+y^2)dsigma = intintsqrt(4-u^2-v^2) (1+u^2+v^2) sqrt(u^2/(4-u^2-v^2) + v^2/(4-u^2-v^2) + 1) dudv$
operando il mcm all'interno della radice, l'integrale diventa
$int int sqrt(4-u^2-v^2) (1+u^2+v^2) sqrt(u^2+v^2+4-u^2-v^2)/sqrt(4-u^2-v^2)) dudv rArr 2int int (1+u^2+v^2)dudv$
per completare il calcolo di quest'integrale, ricorriamo alle coordinate polari. Poiché la superficie sferica si proietta nel cerchio di equazione $x^2+y^2<=3 rArr u^2+v^2<=3$ allora si ha:
${(x=rhocosvartheta),(y=rhosinvartheta)] rArr {(0<=vartheta<=2pi),(0<=u^2+y^2<=3)] rArr {(0<=vartheta<=2pi),(0<=rho^2cos^2vartheta+rho^2sin^2vartheta<=3)] rArr {(0<=vartheta<=2pi),(0<=rho^2(cos^2vartheta+sin^2vartheta)<=3)] rArr {(0<=vartheta<=2pi),(0<=rho<=sqrt(3))]$
quindi l'integrale, mediante coordinate polari, assume la forma:
$2int int_T(1+rho^2cos^2vartheta+rho^2sin^2vartheta)rho drho dvartheta = 2intint_Trho+rho^3drhodvartheta rArr$
$2int_0^(sqrt(3))rho+rho^3(int_0^(2pi)dvartheta)drho = 4piint_0^(sqrt(3))rhodrho + 4piint_0^(sqrt(3))rho^3drho rArr$
$[2pirho^2]_0^(sqrt(3))+[pirho^4]_0^(sqrt(3)) = 15pi$
Non so se può essere utile, ho pensata e postata!
Saluti!!
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