GEOMETRIA... AIUTO

[stella.rad85]

ciao a tutti, ho un problema con due concetti di geometria che su libro non sono proprio scritti e sugli appunti ovviamente non si capisce niente!
chi mi sa spiegare:
1) Estrazione di una base da un insieme di generatori
2) Completamento di un insieme linearmente indipendente ad una base

grazie mille

[Studente Anonimo]

1. Teorema di estrazione di una base

Sia

[math]V[/math]

uno spazio vettoriale di dimensione

[math]n[/math]

su un campo

[math]K[/math]

.
Se

[math]\mathbf{v}_{1}, \; \mathbf{v}_2, \; \dots, \; \mathbf{v}_h[/math]

sono vettori che generano

[math]V[/math]

, allora si ha

[math]h \ge n[/math]

ed esistono

[math]n[/math]

vettori

[math]\mathbf{v}_1, \; \mathbf{v}_2, \; \dots, \; \mathbf{v}_n[/math]

che formano
una base di

[math]V\\[/math]

.


2. Algoritmo di estrazione di una base

A titolo d'esempio, ci prefiggiamo di estrarre una base di

[math]\mathbb{R}^3[/math]

dal-
l'insieme di generatori:

[math]\mathbf{v}_1 = (1, \; 1, \; 0)[/math]

,

[math]\mathbf{v}_2 = (0, \; 1, \; 1)[/math]

,

[math]\mathbf{v}_3 = (1, \; 0, \; -1)[/math]

,

[math]\mathbf{v}_4 = (0, \; 1, \; 0)[/math]

. Dato che

[math]\mathbf{v}_1 \ne \mathbf{0}[/math]

non
va scartato, è il nostro primo vettore della base desiderata. Quindi,
dato che

[math]\mathbf{v}_2 \ne \lambda\,\mathbf{v}_1[/math]

per qualsiasi

[math]\lambda \in \mathbb{R}[/math]

non va scartato nem-
meno

[math]\mathbf{v}_2[/math]

che è il nostro secondo vettore della base ricercata. Ora,
dato che

[math]\mathbf{v}_3 = \lambda\,\mathbf{v}_1 + \mu\,\mathbf{v}_2[/math]

per

[math]\lambda = 1[/math]

e

[math]\mu = -1[/math]

, segue che

[math]\mathbf{v}_3[/math]

va scartato. Dulcis in fundo, in accordo col teorema di cui sopra,
si ha

[math]\mathbf{v}_4 \ne \lambda\,\mathbf{v}_1 + \mu\,\mathbf{v}_2[/math]

per qualsiasi

[math]\lambda,\,\mu \in \mathbb{R}[/math]

e quindi

[math]\mathbf{v}_4[/math]

è
il terzo ed ultimo vettore componente la base cercata che risulta essere
composta dai vettori

[math]\mathbf{v}_1, \; \mathbf{v}_2, \; \mathbf{v}_4\\[/math]

. Fine dell'algoritmo e dell'esercizio.


3. Teorema di completamento a base

Sia

[math]V[/math]

uno spazio vettoriale di dimensione

[math]n[/math]

su un campo

[math]K[/math]

.
Se

[math]\mathbf{v}_{1}, \; \mathbf{v}_2, \; \dots, \; \mathbf{v}_h[/math]

sono vettori linearmente indipendenti in

[math]V[/math]

,
allora si ha

[math]h \le n[/math]

ed esistono

[math]n-h[/math]

vettori

[math]\mathbf{v}_{h+1}, \; \dots, \; \mathbf{v}_n[/math]

tali
che l'insieme ordinato

[math]\mathbf{v}_1, \; \dots, \; \mathbf{v}_h, \; \mathbf{v}_{h+1}, \; \dots, \; \mathbf{v}_n[/math]

è base di

[math]V\\[/math]

.


4. Algoritmo di completamento a base

A titolo d'esempio, ci prefiggiamo di completare a base in

[math]\mathbb{R}^3[/math]

l'insieme di
vettori linearmente indipendenti

[math]\mathbf{v}_1 = (2, \; 1, \; 0)[/math]

,

[math]\mathbf{v}_2 = (1, \; 1, \; 0)[/math]

.
In accordo col teorema appena scritto, esiste un terzo vettore che forma una
base coi due considerati. In particolare, aggiungendo a tali vettori la base
canonica di

[math]\small \mathbb{R}^3[/math]

, si ottiene l'insieme

[math]\mathbf{v}_1 = (2, \; 1, \; 0)[/math]

,

[math]\mathbf{v}_2 = (1, \; 1, \; 0)[/math]

,

[math]\mathbf{v}_3 = (1, \; 0, \; 0)[/math]

,

[math]\mathbf{v}_4 = (0, \; 1, \; 0)[/math]

,

[math]\mathbf{v}_5 = (0, \; 0, \; 1)[/math]

. Di tali vettori,
l'algoritmo di estrazione mantiene i primi due (perché linearmente indipendenti)
ed elimina il terzo e il quarto (entrambi generati dai primi due), tenendo di con-
seguenza il quinto. In conclusione, la base cercata risulta essere composta dai
vettori

[math]\mathbf{v}_1, \; \mathbf{v}_2, \; \mathbf{v}_5\\[/math]

. Fine dell'algoritmo e dell'esercizio.


Spero sia sufficientemente chiaro. ;)