Generalizzazione Teorema degli Zeri

[Elena41]

Ciao a tutti,
volevo chiedervi un aiuto per la dimostrazione formale di questo esercizio:

Dimostrare che ogni polinomio P(x) di grado dispari e per ogni numero reale k, esiste una soluzione dell'equazione P(x) = k.

Intuitivamente si capisce in quanto:

- P(x) è una funzione continua, in quanto polinomio
- I limiti: $lim_{x \rightarrow -\infty} P(x) = -\infty $ e per $lim_{x \rightarrow +\infty} P(x) = +\infty $

E quindi la funzione intersecherà almeno una volta la retta $y= k$.
Questo teorema ricorda molto il Teorema di Esistenza degli zeri, che, se non ricordo male (sono passati tanti anni dai miei studi universitari e sono un po' arrugginita) si dimostrava con il metodo di bisezione e facendo ricorso alle successioni.. Mi chiedevo, esiste una dimostrazione più semlice e più immediata?

Grazie per l'aiuto!

[Gi81]

Su wikipedia c'è un'altra dimostrazione del teorema degli zeri (o di Bolzano),
che fa uso della caratterizzazione dell'estremo superiore.

Un corollario del teorema degli zeri è il teorema dei valori intermedi.
Questo può esserti utile per risolvere il tuo esercizio.

[Elena41]

Giusto, non ci avevo pensato. Quindi basta dire che, per il teorema dei valori intermedi, la funzione assumerà tutti i valori compresi tra $-\infty$ e $+\infty$ e quindi, certamente, anche $y=k$. E' corretto?
Grazie ancora!