Generalizzazione di un teorema agli intervalli degeneri
Mi piace molto il teorema che afferma che, dato in intervallo $I$ fissato comunque $\epsilon > 0$ è possibile trovare un intervallo $J$ che contiene al suo interno la chiusura di $I$, cioè con $J^° \supset \bar {I}$ e tale che $m(J) < m(I) + \epsilon$. La dimostrazione l'ho fatta nel caso $I$ non degenere e quindi con $m(I) \ne 0$ usando in maniera essenziale perché, nella dimostrazione divido per $m(I)$. Più precisamente:
Sia $I = ]a_1 ; b_1[ \times \cdots \times ]a_N ; b_N[$. Per un opportuno $\sigma > 0$ l'ntervallo $J = [a_1 - \sigma ; b_1 + \sigma] \times \cdots \times [a_N - \sigma ; b_N + \sigma]$, contenente al suo interno $\bar{I}=[a_1 ; b_1] \times \cdots \times [a_N ; b_N]$, avrà misura elementare minore di quella di $I$ aumentata di $\epsilon$:
$m(J) = \prod_{i=1}^{N}(b_i - a_i + 2\sigma) < \prod _{1 =1}^{N}(b_i - a_i) + \epsilon = \prod_{i=1}^{N} (b_i -a_i)(1 +\frac{\epsilon}{m(I)})$
se:
$$b_i - a_i + 2\sigma < (b_i - a_i)\sqrt[N]{1+\frac{\epsilon}{m(I)}}\quad \quad \forall i=1,...,N$$
Alla fine concludo prendendo:
$$0 < \sigma <\min_{i=1,...,N} (b_i -a_i)\frac{\sqrt[N]{1 + \frac{\epsilon}{m(I)}} -1}{2}$$
Questo ragionamento non include gli intervalli degeneri che hanno misura nulla.
Come posso cambiare la dimostrazione per questi intervalli?
Sia $I = ]a_1 ; b_1[ \times \cdots \times ]a_N ; b_N[$. Per un opportuno $\sigma > 0$ l'ntervallo $J = [a_1 - \sigma ; b_1 + \sigma] \times \cdots \times [a_N - \sigma ; b_N + \sigma]$, contenente al suo interno $\bar{I}=[a_1 ; b_1] \times \cdots \times [a_N ; b_N]$, avrà misura elementare minore di quella di $I$ aumentata di $\epsilon$:
$m(J) = \prod_{i=1}^{N}(b_i - a_i + 2\sigma) < \prod _{1 =1}^{N}(b_i - a_i) + \epsilon = \prod_{i=1}^{N} (b_i -a_i)(1 +\frac{\epsilon}{m(I)})$
se:
$$b_i - a_i + 2\sigma < (b_i - a_i)\sqrt[N]{1+\frac{\epsilon}{m(I)}}\quad \quad \forall i=1,...,N$$
Alla fine concludo prendendo:
$$0 < \sigma <\min_{i=1,...,N} (b_i -a_i)\frac{\sqrt[N]{1 + \frac{\epsilon}{m(I)}} -1}{2}$$
Questo ragionamento non include gli intervalli degeneri che hanno misura nulla.
Come posso cambiare la dimostrazione per questi intervalli?
Risposte
Ovviamente, è il fatto che l'intervallo $J$ contenga al proprio interno la chiusura di $I$ che complica le cose altrimenti basterebbe sostituire l'intervallo unidimensionale degenere con uno appena più grande e lasciare inalterati tutti gli altri.
Stavo provando con $I= ]2 ; 5[ \times ]4 ; 4[$ che è degenere e cercavo $J=[2- \sigma ; 5+\sigma] \times [4- \sigma ; 4 + \sigma]$ e da $m(J) < \epsilon$ trovo una disequazione di secondo in $\sigma$ che ha effettivamente una soluzione positiva. Ma questa non è ovviamente una generalizzazione, e poi se $n > 2$ troverei disequazioni di grado $n$ grande quanto si vuole.
Stavo provando con $I= ]2 ; 5[ \times ]4 ; 4[$ che è degenere e cercavo $J=[2- \sigma ; 5+\sigma] \times [4- \sigma ; 4 + \sigma]$ e da $m(J) < \epsilon$ trovo una disequazione di secondo in $\sigma$ che ha effettivamente una soluzione positiva. Ma questa non è ovviamente una generalizzazione, e poi se $n > 2$ troverei disequazioni di grado $n$ grande quanto si vuole.
Non vedo che complicazione ci sia.
L'idea è quella che hai descritto.
L'idea è quella che hai descritto.
"gugo82":
Non vedo che complicazione ci sia.
L'idea è quella che hai descritto.
Si, l'idea è quella ma ho dei problemi nel pensarla per $n>2$, anzi anche per $n=2$ me la cavo solo grazie alla formula risolutiva.
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