Gauss Green applicato a forme differenziali chiuse
Ciao a tutti,
ho un dubbio, probabilmente stupido (ma meglio toglierlo), sull'applicazione del teorema di Green-Gauss a forme differenziali chiuse.
Io so che le ipotesi per il teorema di G-G in due dimensioni sono:
- D dominio regolare con frontiera una curva regolare $gamma$
- X,Y funzioni di classe $C^1(D)$
Allora:
$ int_(gamma) omegads = int int_(D) (partialY(x,y))/(partialx) - (partialX(x,y))/(partialy) dx dy $
Quindi posso affermare con fermezza che, se devo calcolare un integrale di una forma differenziale chiusa esteso ad una curva che circonda un dominio regolare le cui componenti X,Y sono funzioni di classe $C^1$, il valore di tale integrale è 0?
Ringrazio tutti in anticipo per l'interesse.
ho un dubbio, probabilmente stupido (ma meglio toglierlo), sull'applicazione del teorema di Green-Gauss a forme differenziali chiuse.
Io so che le ipotesi per il teorema di G-G in due dimensioni sono:
- D dominio regolare con frontiera una curva regolare $gamma$
- X,Y funzioni di classe $C^1(D)$
Allora:
$ int_(gamma) omegads = int int_(D) (partialY(x,y))/(partialx) - (partialX(x,y))/(partialy) dx dy $
Quindi posso affermare con fermezza che, se devo calcolare un integrale di una forma differenziale chiusa esteso ad una curva che circonda un dominio regolare le cui componenti X,Y sono funzioni di classe $C^1$, il valore di tale integrale è 0?
Ringrazio tutti in anticipo per l'interesse.
Risposte
Con questi ragionamenti, stai essenzialmente ritrovando che le forme differenziali chiuse, definite su domini semplicemente connessi, sono esatte.
Certo, ma attenzione: le funzioni \(X, Y\) devono essere \(C^1\) su TUTTO il dominio. Se manca anche solo un puntino, va tutto gambe all'aria. Infatti, il tipico esempio di forma differenziale chiusa ma non esatta è
\[
\omega= \frac{-y}{x^2+y^2}\, dx +\frac{x}{x^2+y^2}\, dy, \]
e in questo caso i coefficienti sono funzioni di classe \(C^\infty(\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\})\). Il fatto che manchi quel puntino ti impedisce di concludere che la forma sia esatta, cosa che infatti non è vera, perché
\[
\int_C\omega = 2\pi, \]
dove \(C\) rappresenta la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario.
Quindi posso affermare con fermezza che, se devo calcolare un integrale di una forma differenziale chiusa esteso ad una curva che circonda un dominio regolare le cui componenti X,Y sono funzioni di classe C1, il valore di tale integrale è 0?
Certo, ma attenzione: le funzioni \(X, Y\) devono essere \(C^1\) su TUTTO il dominio. Se manca anche solo un puntino, va tutto gambe all'aria. Infatti, il tipico esempio di forma differenziale chiusa ma non esatta è
\[
\omega= \frac{-y}{x^2+y^2}\, dx +\frac{x}{x^2+y^2}\, dy, \]
e in questo caso i coefficienti sono funzioni di classe \(C^\infty(\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\})\). Il fatto che manchi quel puntino ti impedisce di concludere che la forma sia esatta, cosa che infatti non è vera, perché
\[
\int_C\omega = 2\pi, \]
dove \(C\) rappresenta la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario.
Ciao, grazie innanzitutto per la risposta.
In effetti leggendola mi viene da pensare a quanto fosse banale la mia domanda. A questo punto, trovandoci a parlare, proprio quando c'è quel "buco" nel dominio di cui parlavi (supponendo sempre di avere una forma differenziale chiusa) abbiamo detto non posso affermare immediatamente la sua esattezza. Tuttavia, mi basta trovare che valga 0 l'integrale di $omega$ esteso ad una curva che circonda l'anomalia per dire che lo è. Da cosa deriva questo risultato?
In effetti leggendola mi viene da pensare a quanto fosse banale la mia domanda. A questo punto, trovandoci a parlare, proprio quando c'è quel "buco" nel dominio di cui parlavi (supponendo sempre di avere una forma differenziale chiusa) abbiamo detto non posso affermare immediatamente la sua esattezza. Tuttavia, mi basta trovare che valga 0 l'integrale di $omega$ esteso ad una curva che circonda l'anomalia per dire che lo è. Da cosa deriva questo risultato?
Non ho mai detto che la domanda fosse banale, è sempre bene riscoprire le cose per conto proprio.
Quanto all'altra domanda, le forme differenziali chiuse verificano la proprietà di invarianza per omotopia dei loro integrali lungo le curve chiuse. Ne ho già parlato altre volte, se trovo io link lo posto qui.
P.S.: ecco un link, ma è un po' vecchio
viewtopic.php?p=427320#p427320
Quanto all'altra domanda, le forme differenziali chiuse verificano la proprietà di invarianza per omotopia dei loro integrali lungo le curve chiuse. Ne ho già parlato altre volte, se trovo io link lo posto qui.
P.S.: ecco un link, ma è un po' vecchio
viewtopic.php?p=427320#p427320
Sei stato molto esaustivo, grazie ancora!
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