$f(x,y)$ problema ad annullare il $\nabla f=0$

[21zuclo]

Ciao a tutti, mi sono trovato davanti questo esercizio, ma il problema è che non riesco a trovare i valori i valori per cui si annulla il gradiente. Aiutatemi per favore

Trovare i punti stazioni e stabilirne la natura di $ f(x,y)=\sqrt(x^2+4y^2)-1/2x^2+y^2 $

allora calcolo il gradiente

$ \partial_x f(x,y)=(x)/(\sqrt(x^2+4y^2))-x $

$ \partial_y f(x,y)=(4y)/(\sqrt(x^2+4y^2))+2y $

ora devo fare $ { ( (x)/(\sqrt(x^2+4y^2))-x =0 ),( (4y)/(\sqrt(x^2+4y^2))+2y=0 ):} $

ho provato a mettere $ (1)/(\sqrt(x^2+4y^2))=1 \text{ (che viene fuori dalla prima equazione)} $

ma poi non vado da nessuna parte..

Qualche idea?

[dan952]

$x(1/(√(x^2+4y^2))-1)=0$ vale per $x=0$ e se $x^2+4y^2=1$ (i punti di un ellisse)
Mentre l'altra vale solo per $y=0$ come vedi raccogliendo $y(4/(√(x^2+4y^2))+2)=0$ il secondo fattore non può mai annullarsi essendo somma di termini strettamente positivi. Dunque gli unici due candidati sono $(1,0)$ e $(-1,0)$ (basta che sostituiamo $y=0$ alla prima).