Funzioni vettoriali [Analisi II]
Cari utenti di Matematicamente.it,
vi scrivo per chiedervi lumi riguardo le funzioni vettoriali che sto (con scarsi risultati!) studiando.
Purtroppo non riesco proprio a venirne a capo: quali le differenze dalle funzioni "tradizionali" ?
Grazie e, come al solito, abbiate pietà di me!
Francesco.
vi scrivo per chiedervi lumi riguardo le funzioni vettoriali che sto (con scarsi risultati!) studiando.
Purtroppo non riesco proprio a venirne a capo: quali le differenze dalle funzioni "tradizionali" ?
Grazie e, come al solito, abbiate pietà di me!
Francesco.
Risposte
Le differenze sono tante, ma anche le analogie non sono poche. Moltissimi teoremi di calcolo differenziale $RR\toRR$ restano veri anche per funzioni a valori vettoriali. Anzi, se parli di funzioni di una variabile a valori in un $RR^n$, direi che l'"unica" differenza riguarda il teorema di Lagrange o del valore medio: per le funzioni a valori vettoriali non vale più.
Ad esempio, la funzione $f: [0, 2pi]\toRR^2$, che a $theta$ associa $(cos\ theta, sin\ theta)$ (parametrizza la circonferenza unitaria) è derivabile in tutto l'intervallo aperto e continua negli estremi ma non esiste un punto $xi\in [0, 2pi]$ per cui $f(2pi)-f(0)=f'(xi)2pi$.
Ad esempio, la funzione $f: [0, 2pi]\toRR^2$, che a $theta$ associa $(cos\ theta, sin\ theta)$ (parametrizza la circonferenza unitaria) è derivabile in tutto l'intervallo aperto e continua negli estremi ma non esiste un punto $xi\in [0, 2pi]$ per cui $f(2pi)-f(0)=f'(xi)2pi$.
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