Funzioni uniformemente continue non lipschitziane
Apro questa discussione perchè ho bisogno di alcuni controesempi.
In primis un esercizio mi chiede di trovare:
"Una funzione che sia uniformemente continua nell'intervallo $[1, infty)$ ma non lipschitziana".
Magari è semplice ma non riesco a trovare una funzione che possa essere U.C. in $[1,b]$ (cioè continua) con $b in R, b>1$ ma che all'infinito non riesca ad essere lipschitziana ma rimanga comunque uniformemente continua.
Inoltre avete altri controesempi di questo tipo? Ovvero sempre funzioni U.C. ma non lipshitziane.
Grazie della lettura.
In primis un esercizio mi chiede di trovare:
"Una funzione che sia uniformemente continua nell'intervallo $[1, infty)$ ma non lipschitziana".
Magari è semplice ma non riesco a trovare una funzione che possa essere U.C. in $[1,b]$ (cioè continua) con $b in R, b>1$ ma che all'infinito non riesca ad essere lipschitziana ma rimanga comunque uniformemente continua.
Inoltre avete altri controesempi di questo tipo? Ovvero sempre funzioni U.C. ma non lipshitziane.
Grazie della lettura.
Risposte
Se una funzione è differenziabile la condizione di lipschitzianità è strettamente legata (se non addirittura equivalente) al fatto che la derivata sia limitata o no. Questo ti potrebbe aiutare verso che direzne cercare questa funzione.
Provato con \(f(x):=\sqrt{x-1}\)?
@DajeForte: "Addirittura equivalente"??? Ma manco per niente!
@DajeForte: "Addirittura equivalente"??? Ma manco per niente!
@gugo: Perchè?
Da uan parte il rapporto incrementale è limitato e dall'altra il mean value theorem.
Da uan parte il rapporto incrementale è limitato e dall'altra il mean value theorem.
"DajeForte":
Se una funzione è differenziabile la condizione di lipschitzianità è strettamente legata (se non addirittura equivalente) al fatto che la derivata sia limitata o no. Questo ti potrebbe aiutare verso che direzne cercare questa funzione.
Facciamo un po' d'ordine. Quando postate cose così cercate di essere precisi, sennò si fa confusione e basta.
Un po' di teoremi che si conoscono (o si dovrebbe - leggi "studia").
Teorema Una funzione continua su un compatto è uniformemente continua.
Teorema Una funzione $f$ continua definita su $[a,+oo)$, tale che $lim_{x \to +\infty} f(x)-g(x)=0$, con $g$ una funzione uniformemente continua in $[a,+\infty)$, è uniformemente continua.
Corollario Una funzione continua che all'infinito è costante è uniformente continua. (dimostrazione una funzione costante è uniformemente continua)
Teorema (della farfalla) Una funzione $f:[a,+\infty)$ è uniformente continua. Allora esistono costanti $C,D>0$ tali che
$|f(x)|<= C|x|+D$
(dimostrazione neanche troppo difficile, si veda per esercizio!)
(domanda perchè si chiama "della farfalla"? prova a fare un disegnino di dove può "vivere" la funzione $f$)
Tutti conosciamo la definizione di lipshitziana.
Teorema Una funzione $f$ derivabile in un intervallo reale $I$.
$f$ è lipshitziana di costante $M$ $iff$ $M="sup"_I |f'|$.
Questi teoremi dovrebbero essere tutti noti. Per una dimostrazione, si veda ad esempio l'Acerbi Buttazzo.
Ok, ora hai un po' di ingredienti. Pensaci un po'!
"Gaal Dornick":
$f$ è lipshitziana di costante $M$ $iff$ $M="sup"_I |f'|$.
Appunto era questo quello che intendevo.
Ma vabe...
Un paio di punti elencati sopra non li conoscevo. Per quanto riguarda questa cosa sulla derivabilità, forse l'utente sopra ha pensato che tu parlassi dell'implicazione:
"$f$ derivabile con derivata limitata $->$ f lipschitziana" per la quale non vale l'altra implicazione.
Ora ci rifletto un attimo, con tutto questo pappone di roba!
"$f$ derivabile con derivata limitata $->$ f lipschitziana" per la quale non vale l'altra implicazione.
Ora ci rifletto un attimo, con tutto questo pappone di roba!
@DajeForte: Effettivamente non avevo visto che avevi ipotizzato l'equivalenza per le sole funzioni derivabili... In quel caso hai pienamente ragione a parlare di equivalenza tra le due cose.
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