Funzioni sommabili
Ho quasi finito di ripetere tutto il programma.
Ma non riesco a capire quando una funzione è sommabile.
Cioè, mi manca proprio la definizione con ipotesi e tesi.
Sul libro salsa-pagani, non lo trovo.
Da quel che ricordo una funzione è sommabile se da $[1,+oo)$ da un integrale finito.
Ma non sono sicuro....chi mi può chiarire le idee?
Ma non riesco a capire quando una funzione è sommabile.
Cioè, mi manca proprio la definizione con ipotesi e tesi.
Sul libro salsa-pagani, non lo trovo.
Da quel che ricordo una funzione è sommabile se da $[1,+oo)$ da un integrale finito.
Ma non sono sicuro....chi mi può chiarire le idee?
Risposte
"clever":
Ho quasi finito di ripetere tutto il programma.
Ma non riesco a capire quando una funzione è sommabile.
Cioè, mi manca proprio la definizione con ipotesi e tesi.
Sul libro salsa-pagani, non lo trovo.
Da quel che ricordo una funzione è sommabile se da $[1,+oo)$ da un integrale finito.
Ma non sono sicuro....chi mi può chiarire le idee?
Ciao Clever. Quello che ti posso dire è che spesso capita che funzione integrabile e funzione sommabile siano espressioni sinonimiche. Penso che anche nel tuo caso sia così, fammi presente se invece possiedi la definizione di funzione integrabile e sai che quella di funzione sommabile è diversa.
Una funzione si dice integrabile su $[a ; b]$ se esiste finito $int_{a}^{b}f(x)dx$
In genere si dice che una funzione è "sommabile" su un certo intervallo se ne esiste finito l'integrale del valore assoluto. In simboli: $f$ è sommabile su $I$ intervallo (non necessariamente chiuso e limitato) se e solo se $f$ è integrabile e $int_I |f| < \infty$. A volte si confondono i termini "sommabile" e "integrabile", altre volte si usa per "sommabile" il termine "assolutamente integrabile"... Vale la solita regola d'oro: dipende dal contesto.
Questa dovrebbe essere la definizione di integrale su un intervallo chiuso e limitato.
Poi ci sono gli integrali impropri, e poi c'è quello delle funzioni sommabili.
Ad esempio ad un vecchio compito c'era questo quesito:
Determinare l'integrale indefinito della funzione:
$f(x)=arctg(1/x)$
dire se $f(x)$ è sommabile in $[1,+oo)$
io senza la definizione di sommabilità, già non avrei risposto a questo quesito ad esempio.
Poi ci sono gli integrali impropri, e poi c'è quello delle funzioni sommabili.
Ad esempio ad un vecchio compito c'era questo quesito:
Determinare l'integrale indefinito della funzione:
$f(x)=arctg(1/x)$
dire se $f(x)$ è sommabile in $[1,+oo)$
io senza la definizione di sommabilità, già non avrei risposto a questo quesito ad esempio.
Sicuramente vuole sapere se l'integrale $int_1^\infty arctan(1/x)"d"x$ esiste finito. Nota che qui non c'è bisogno di passare al valore assoluto perché la funzione integranda è positiva. Se avessi avuto, per esempio, $sinx /x$, sarebbe stata tutta un'altra musica.
Quindi avrei dovuto svolgere quell'integrale e dire se era finito o meno.
Se era finito, affermavo che era una funzione sommabile.
Se era $+oo$ affermavo che era non sommabile, e divergeva a $+oo$.
Per il fatto del contesto, io elenco gli argomenti riguardanti il capitolo degli integrali, così mi regolo sulla definizione che mi hai dato tu.
1.Primitive di una funzione e integrale indefinito.
2.Calcolo di integrali indefiniti immediati
3.metodo di integrazione per parti
4.decomposizioe in somma
5.integrazione delle funzioni razionali
6.integrazione per sostituzione
7.integrazione di funzioni trigonometriche
8.integrale secondo Riemann (di cui non so definirlo, anche se aprii precedentemente un topic proprio su questo)
9.integrabilità delle funzioni continue.
10.integrabilità delle funzioni monotone.
11.il teorema della media
12. teorema fondamentale
13.formula fondamentale del calcolo integrale
14. funzioni sommabili.
quindi, io non so quale sia questa grande differenza tra funzioni sommabili o integrabili.
Se era finito, affermavo che era una funzione sommabile.
Se era $+oo$ affermavo che era non sommabile, e divergeva a $+oo$.
Per il fatto del contesto, io elenco gli argomenti riguardanti il capitolo degli integrali, così mi regolo sulla definizione che mi hai dato tu.
1.Primitive di una funzione e integrale indefinito.
2.Calcolo di integrali indefiniti immediati
3.metodo di integrazione per parti
4.decomposizioe in somma
5.integrazione delle funzioni razionali
6.integrazione per sostituzione
7.integrazione di funzioni trigonometriche
8.integrale secondo Riemann (di cui non so definirlo, anche se aprii precedentemente un topic proprio su questo)
9.integrabilità delle funzioni continue.
10.integrabilità delle funzioni monotone.
11.il teorema della media
12. teorema fondamentale
13.formula fondamentale del calcolo integrale
14. funzioni sommabili.
quindi, io non so quale sia questa grande differenza tra funzioni sommabili o integrabili.
"clever":
Ma non riesco a capire quando una funzione è sommabile.
Cioè, mi manca proprio la definizione con ipotesi e tesi.
Posso far notare che una definizione non ha bisogno di alcuna ipotesi e di alcuna tesi?
"clever":
Da quel che ricordo una funzione è sommabile se da $[1,+oo)$ da un integrale finito.
Non focalizzarti troppo sull'intervallo $[ 1, +oo] $ anche se spesso è quello che appare negli esercizi...
Come scrive dissonance :
Una funzione è sommabile in un certo intervallo se esiste finito l'integrale del valore assoluto. L'intervallo non è necessariamente chiuso e limitato.
Non restare su casi specifici ma cerca di generalizzare i concetti, comprenderai meglio quel che significano.
Ah, ecco. io mi ero ''ricordato'' l'esercizio e da li ho preso l'esempio e mi son fatto intuitivamente la definizione.
Quindi affinchè sia sommabile dese essere preso un qualsiasi intevallo.
L'importante è che l'integrale del valore assoluto esista su quell'intervallo.
Bisogna quindi fare attenzione negli esercizi, vedere se la funzione è pari o dispari, perchè come ha fatto l'esempio dissonance, c'è anche il caso $(sin(x))/x$.
Giusto?
Quindi affinchè sia sommabile dese essere preso un qualsiasi intevallo.
L'importante è che l'integrale del valore assoluto esista su quell'intervallo.
Bisogna quindi fare attenzione negli esercizi, vedere se la funzione è pari o dispari, perchè come ha fatto l'esempio dissonance, c'è anche il caso $(sin(x))/x$.
Giusto?
Mein Gott! ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Quindi:
1) Non "deve essere preso un qualsiasi intervallo", l'intervallo è $J$, lo abbiamo specificato all'inizio, e basta. La funzione può essere anche definita altrove ma non ci interessa.
2) Che c'azzeccano le funzioni pari e dispari? Te lo dico io: niente. Citavo $sinx /x$ per ricordarti che non tutte le funzioni sono positive, e che quindi per verificarne la sommabilità, quel valore assoluto che compare nella definizione lo devi mettere. E l'esempio in questione è ancora più calzante perché $sinx/x$ ha una interessante proprietà: detto $J=[0, \infty)$, se metti il valore assoluto risulta che
$int_J |\frac{sin x}{x}|"d"x=+\infty$;
se non lo metti risulta che
$int_J \frac{sin x}{x}"d"x=pi/2$ (non provare a dimostrarlo, è difficile).
Quindi, pur essendo una funzione integrabile e con integrale finito, $sinx/x$ NON è sommabile in $[0, \infty)$. Il fatto che sia una funzione pari non c'entra assolutamente nulla.
"clever":Assolutamente NO! Probabilmente hai capito il concetto ma ti sei espresso malissimo. Vediamo di dare una vera definizione di funzione sommabile? Sia $J$ un intervallo ed $f: J \toRR$. Diremo che $f$ è sommabile in $J$ se e solo se $|f|$ è integrabile e $int_J\ |f(x)|"d"x < +\infty$.
Giusto?
Quindi:
1) Non "deve essere preso un qualsiasi intervallo", l'intervallo è $J$, lo abbiamo specificato all'inizio, e basta. La funzione può essere anche definita altrove ma non ci interessa.
2) Che c'azzeccano le funzioni pari e dispari? Te lo dico io: niente. Citavo $sinx /x$ per ricordarti che non tutte le funzioni sono positive, e che quindi per verificarne la sommabilità, quel valore assoluto che compare nella definizione lo devi mettere. E l'esempio in questione è ancora più calzante perché $sinx/x$ ha una interessante proprietà: detto $J=[0, \infty)$, se metti il valore assoluto risulta che
$int_J |\frac{sin x}{x}|"d"x=+\infty$;
se non lo metti risulta che
$int_J \frac{sin x}{x}"d"x=pi/2$ (non provare a dimostrarlo, è difficile).
Quindi, pur essendo una funzione integrabile e con integrale finito, $sinx/x$ NON è sommabile in $[0, \infty)$. Il fatto che sia una funzione pari non c'entra assolutamente nulla.
ora mi è più chiaro! xD
grazie per la pazienza hehe
grazie per la pazienza hehe
@Dissonance.
Dove posso trovare le Funzioni sommabili, proprio come capitolo, sul marcellini-sbordone?
Dove posso trovare le Funzioni sommabili, proprio come capitolo, sul marcellini-sbordone?
Il capitolo "funzioni sommabili", come puoi vedere tu stesso nell'indice, non c'è. Infatti questa definizione non si usa proprio in quel libro. Comunque si parla di argomenti analoghi nel capitolo dedicato agli integrali definiti e agli integrali impropri.
"dissonance":Assolutamente NO! Probabilmente hai capito il concetto ma ti sei espresso malissimo. Vediamo di dare una vera definizione di funzione sommabile? Sia $J$ un intervallo ed $f: J \toRR$. Diremo che $f$ è sommabile in $J$ se e solo se $|f|$ è integrabile e $int_J\ |f(x)|"d"x < +\infty$.
Mein Gott!
[quote="clever"]Giusto?
Quindi:
1) Non "deve essere preso un qualsiasi intervallo", l'intervallo è $J$, lo abbiamo specificato all'inizio, e basta. La funzione può essere anche definita altrove ma non ci interessa.
2) Che c'azzeccano le funzioni pari e dispari? Te lo dico io: niente. Citavo $sinx /x$ per ricordarti che non tutte le funzioni sono positive, e che quindi per verificarne la sommabilità, quel valore assoluto che compare nella definizione lo devi mettere. E l'esempio in questione è ancora più calzante perché $sinx/x$ ha una interessante proprietà: detto $J=[0, \infty)$, se metti il valore assoluto risulta che
$int_J |\frac{sin x}{x}|"d"x=+\infty$;
se non lo metti risulta che
$int_J \frac{sin x}{x}"d"x=pi/2$ (non provare a dimostrarlo, è difficile).
Quindi, pur essendo una funzione integrabile e con integrale finito, $sinx/x$ NON è sommabile in $[0, \infty)$. Il fatto che sia una funzione pari non c'entra assolutamente nulla.[/quote]
E' solo quella definizione che mi hai dato tu qualche mese fa? xD
Non ho capito che cosa vuoi sapere. Si, la definizione è quella.
Intendo 'quella da ripetere e dire all'orale'.
Grazie.
Grazie.
Salve a distanza di tempo riapro questo post in quanto mi trovo nella stessa situazione di Clever.
La sommabilità di una funzione $\phi(x) $ nell'intervallo $[a,b]$ è una proprieetà più generale dell'integrabilità di Riemann e anche se la funzione non è continua ne garantisce l'esistenza (finitezza) dell'integrale cioè:
$ int_(a)^(b) \phi(x) dx = lim_n int_(a_n)^(b_n) \phi(x) dx < \infty $
Adesso volevo capire che differenza c'era con la definizione data da @dissonance , inoltre non riesco a trovare la definizione di funzione a quadrato sommabile , grazie in anticipo
La sommabilità di una funzione $\phi(x) $ nell'intervallo $[a,b]$ è una proprieetà più generale dell'integrabilità di Riemann e anche se la funzione non è continua ne garantisce l'esistenza (finitezza) dell'integrale cioè:
$ int_(a)^(b) \phi(x) dx = lim_n int_(a_n)^(b_n) \phi(x) dx < \infty $
Adesso volevo capire che differenza c'era con la definizione data da @dissonance , inoltre non riesco a trovare la definizione di funzione a quadrato sommabile , grazie in anticipo
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