Funzioni Omogenee di grado 0

[dohen]

Se ho una funzione omogenea di grado 0
f:R^n→R diversa dalla funzione costantemente nulla è vero che essa è sempre discontinua in 0
e se sì perchè?

[Seneca1]

Ti faccio presente che per regolamento è obbligatoria la presentazione di qualche tua idea sull'esercizio.

[dohen]

L'idea era dimostrare che in (0,0...,0) una funzione non ammette limite. Per esempio se prendiamo la funzione x/y definita da R^2 e con valori in R possiamo fare il limite in (0,0) scegliendo prima la restrizione y=(0.5)x e poi la restrizione y=x. Nel primo caso abbiamo che il limite fa 2 mentre nel seconda il limite viene 1, dunque la nostra f di partenza non ammette limite.
In casi specifici è solitamente abbastanza facile vedere la discontinuità di tali funzioni in (0,0..0), non so però se questo sia sempre vero e se sì di come dimostrarlo in generale.

[gugo82]

"dohen":Se ho una funzione omogenea di grado 0
f:R^n→R diversa dalla funzione costantemente nulla è vero che essa è sempre discontinua in 0
e se sì perchè?

Falso. Considera \(f(x)=c\) con \(c\neq 0\)...

In generale, una funzione del tipo che citi è discontinua in \(0\) se e solo se esistono due \(x_1,x_2\in \mathbb{R}^N\) con \(|x_1|=1=|x_2|\) tali che \(f(x_1)\neq f(x_2)\).

[dohen]

Boh ho provato a pensarci ed evidentemente il mio ragionamento è sbagliato ma vorrei capire dove. Suppuniamo f continua in (0,0,..0) . Scegliamo arbitrariamente a1,a2,..an appartenenti a R.
Abbiamo che lim f (a1/n,a2/n...,an/n) [n→∞] =lim f(x1,x2,x3...,xn) [x1→0,x2→0,...,xn→0] poichè f è continua.
Ma ho anche che
lim f(a1/n,a2/n...,an/n) [n→∞]= lim f(a1,a2,...,an) poichè f è omogenea di grado 0. Dunque, poichè a1...an sono arbitrari ho che la mia f vale costantemente f(0,0...,0).

[gugo82]

Vogliamo provare che, se \(f:\mathbb{R}^N\to \mathbb{R}\) è \(0\)-omogenea, sono equivalenti le seguenti informazioni:

[list=1] [*:2i71fzr4] \(f \text{ è convergente in } o\);

[/*:m:2i71fzr4]
[*:2i71fzr4] \(f \text{ è costante su } \partial B(o;1)\);

[/*:m:2i71fzr4]
[*:2i71fzr4] \(f \text{ è costante in } \mathbb{R}^N\setminus \{o\}\).[/*:m:2i71fzr4][/list:o:2i71fzr4]

Prova a ragionarci un po' sopra; se non ti viene nulla in mente, guarda lo spoiler qui sotto.

Dim.: \(1\ \Rightarrow\ 2\). Dato che \(f\) è convergente in \(o\), esiste finito il \(\lim_{x\to o} f(x)\). Detto \(c\) tale limite, fissato arbitrariamente un punto \(\hat{x}\in \partial B(o;1)\) si trova:
\[
f(\hat{x}) = \lim_{t\to 0^+} f(\hat{x}) =\lim_{t\to 0^+} f(t\ \hat{x}) = \lim_{x\to o} f(x) = c\; ;
\]
pertanto \(f\) è identicamente uguale a \(c\) sul bordo della palla unitaria.

\(2\ \Rightarrow\ 3\). Notiamo che il valore della \(f\) in \(x\in \mathbb{R}^N\setminus \{o\}\) coincide con il valore che tale funzione assume nel punto \(\hat{x} = \frac{x}{|x|} \in \partial B(o;1)\): infatti:
\[
f(x) = f(|x|\ \hat{x}) = f(\hat{x})\; .
\]
Conseguentemente, la \(f\) è completamente determinata non appena si conosca il suo comportamento sul bordo della palla unitaria di \(\mathbb{R}^N\).
In particolare, se \(f\) è costante su \(\partial B(o;1)\), \(f\) è uguale a \(c\) in \(\mathbb{R}^N\setminus \{ o\}\).

\(3\ \Rightarrow\ 1\). Questa è banalissima. \(\square\)

L'equivalenza di cui sopra, in particolare, si applica al tuo caso (in cui richiedi addirittura la continuità in \(o\)).

[dohen]

Ok, grazie mille