Funzioni nel campo complesso
Salve ragazzi mi sto accingendo a studiare per l'esame di metodi ed ho riscontrato qualche problema con alcune proprietà delle funzioni elementari definite nel campo complesso. Il mio primo problema è che non riesco a capire perchè la funzione esponenziale è periodica di $2\pij$. Sul mio libro riporta questa uguaglianza: $e^z=e^(z+2k\pij), AA k in ZZ, z in CC$ ma anche un ignorante sa che quell'uguaglianza è vera se $k=0$. Sareste cosi gentili da spiegarmi perchè vale per ogni k e che cosa significa che è periodica? Per caso c'entra la formula di Eulero?
Grazie in anticipo
Grazie in anticipo
Risposte
"paolotesla91":
...ma anche un ignorante sa che quell'uguaglianza è vera se $k=0$.
Hai detto bene, se $[k=0]$, non se e solo se $[k=0]$. In ogni modo, $[e^(j2kpi)=1]$ per ogni $[k]$.
Certo che c'entra la formula di Eulero... Ma più che altro è un problema di definizione: come ti è stata definita la funzione \(e^z\)?
ah grazie speculor quindi ciò che c'è scritto sul mio libro è sbagliato! ma come ricavo che $e^(2k\pij)=1$?
Si gugo la definizione che mi è stata data è la seguente:
$e^z=e^x*e^(jy)=e^x(cosy+jsiny)$
Si gugo la definizione che mi è stata data è la seguente:
$e^z=e^x*e^(jy)=e^x(cosy+jsiny)$
$[e^(jtheta)=costheta+jsentheta] rarr [e^(j2kpi)=cos(2kpi)+jsen(2kpi)] rarr [e^(j2kpi)=1]$
giustissimo grazie mille speculor 
solo un ultima domanda, non iresco a risolvere questa : $e^z=-1$
solo un ultima domanda, non iresco a risolvere questa : $e^z=-1$
Dei numeri complessi so molto poco, figuriamoci quando sono l'esponente di un numero, vorrei capire un po' di più senza disturbare (nel caso ignoratemi).
Allora se l'esponente di e è un numero reale, il risultato sarà sempre positivo, giusto?
Se l'esponente di e è un numero immaginario cosa succede?
Allora se l'esponente di e è un numero reale, il risultato sarà sempre positivo, giusto?
Se l'esponente di e è un numero immaginario cosa succede?
@paolotesla91
$[e^z=-1] rarr [e^z=e^(j(pi+2kpi))] rarr [z=j(pi+2kpi)]$
@gio73
Quando la variabile indipendente è complessa, l'esponenziale stesso è complesso:
$[e^z=e^(x+jy)=e^xe^(jy)=e^x(cosy+jseny)=e^xcosy+je^xseny] rarr \{(Re[e^z]=e^xcosy),(Im[e^z]=e^xseny):}$
Non ha quindi senso chiedersi se l'esponenziale complesso è positivo o negativo. In ogni modo, se si considera la forma $[e^z=e^x(cosy+jseny)]$, si comprende che il modulo $[e^x]$ dell'esponenziale complesso dipende solo dalla parte reale della variabile indipendente secondo la solita legge esponenziale, mentre il suo argomento $[y]$ coincide con la parte immaginaria della variabile indipendente. Purtroppo, delle funzioni di variabile complessa è più difficile avere una rappresentazione intuitiva. Tuttavia, se l'esponente è immaginario, essendo in questo caso $[e^z=cosy+jseny]$, l'esponenziale complesso percorre indefinitamente la circonferenza centrata nell'origine e di raggio unitario. Nel caso generale, al variare di $[y]$ percorre indefinitamente la circonferenza centrata nell'origine e di raggio $[e^x]$. Se vuoi, puoi provare tu a determinare il luogo geometrico descritto dall'esponenziale complesso quando si fissa $[y]$ e si lascia variare $[x]$.
$[e^z=-1] rarr [e^z=e^(j(pi+2kpi))] rarr [z=j(pi+2kpi)]$
@gio73
Quando la variabile indipendente è complessa, l'esponenziale stesso è complesso:
$[e^z=e^(x+jy)=e^xe^(jy)=e^x(cosy+jseny)=e^xcosy+je^xseny] rarr \{(Re[e^z]=e^xcosy),(Im[e^z]=e^xseny):}$
Non ha quindi senso chiedersi se l'esponenziale complesso è positivo o negativo. In ogni modo, se si considera la forma $[e^z=e^x(cosy+jseny)]$, si comprende che il modulo $[e^x]$ dell'esponenziale complesso dipende solo dalla parte reale della variabile indipendente secondo la solita legge esponenziale, mentre il suo argomento $[y]$ coincide con la parte immaginaria della variabile indipendente. Purtroppo, delle funzioni di variabile complessa è più difficile avere una rappresentazione intuitiva. Tuttavia, se l'esponente è immaginario, essendo in questo caso $[e^z=cosy+jseny]$, l'esponenziale complesso percorre indefinitamente la circonferenza centrata nell'origine e di raggio unitario. Nel caso generale, al variare di $[y]$ percorre indefinitamente la circonferenza centrata nell'origine e di raggio $[e^x]$. Se vuoi, puoi provare tu a determinare il luogo geometrico descritto dall'esponenziale complesso quando si fissa $[y]$ e si lascia variare $[x]$.
ok grazie mille speculor
"speculor":
@gio73
Quando la variabile indipendente è complessa, l'esponenziale stesso è complesso:
$[e^z=e^(x+jy)=e^xe^(jy)=e^x(cosy+jseny)=e^xcosy+je^xseny] rarr \{(Re[e^z]=e^xcosy),(Im[e^z]=e^xseny):}$
intanto grazie per l'attenzione, rifletterò un po' su quello che hai scritto e proverò a capirci qualche cosa. Nel caso mi farò risentire!
Magari sbaglio ma se cambia l'esponente reale x cambia il valore di $e^x$ di conseguenza il raggio della circonferenza.
Alcuni aspetti "lessicali" che non mi sono perfettamente chiari:
y dovrebbe rappresentare l'argolo che la norma, il modulo, la congiungente l'origine con il punto che rappresenta il numero complesso, giusto? (nel nostro caso mi riferisco al numero complesso che abbiamo all'esponente)
Non è del tutto facile passare dall'esponente di e che un complesso al valore di e che è di nuovo un complesso da considerarsi indipendentemente dal primo, devo immaginare due piani diversi: uno per l'esponente, uno per il risultato.
"gio73":
devo immaginare due piani diversi: uno per l'esponente, uno per il risultato.
Esatto. E' così che si visualizzano le funzioni di variabile complessa. Ecco per esempio una interpretazione grafica della funzione esponenziale tratta dal solito Visual Complex Analysis di Needham (libro che ti consiglio caldamente se sei alla ricerca di informazioni per studio personale e diletto):
"dissonance":
Ecco per esempio una interpretazione grafica della funzione esponenziale tratta...
Non lo conoscevo. Grazie del riferimento, deve essere un libro interessante.
"dissonance":
[quote="gio73"] devo immaginare due piani diversi: uno per l'esponente, uno per il risultato.
Esatto. E' così che si visualizzano le funzioni di variabile complessa. Ecco per esempio una interpretazione grafica della funzione esponenziale tratta dal solito Visual Complex Analysis di Needham (libro che ti consiglio caldamente se sei alla ricerca di informazioni per studio personale e diletto):
[/quote]Per quanto strano possa sembrare... è solo diletto.
"gio73":
Per quanto strano possa sembrare...è solo diletto.
Il diletto è il fine, lo studio personale il mezzo.
Salve ragazzi ho ancora un problema con un esercizio, il seguente:
Calcolare $Log(-1)$ molti potrà sembrare facilissimo ma è da pochissimo che ho cominciato a studiare il campo complesso e quindi devo familiarizzare un pò con le nuove "regole" che il campo impone. Allora io ho ragionato in questo modo:
so che $Log(z)=log|z|+jArg(z)$ cioè l'esercizio mi chiede di calcolare il logaritmo principale del numero complesso z che sarebbe (-1). Fin qui ci sono. Allora ho provato a risolvere così: $Log(-1)=log|-1|+jArg(-1)$. Sul logaritmo non ho problemi perche si ragiona come un normale logaritmo quidni avrei che $log|-1|=0$ e mi trovo con quello che dice il mio libro. Il problema invece lo riscontro con l'argomento principale. So che l'argomento principale racchiude tute le determinazioni dell'anomalia che cadono nell'intervallo $(-\pi,\pi]$, tuttavia non riesco a capire il perchè di questa conclusione $Arg(-1)=\pi$.
Sareste così gentili da spiegarmelo per favore?
Calcolare $Log(-1)$ molti potrà sembrare facilissimo ma è da pochissimo che ho cominciato a studiare il campo complesso e quindi devo familiarizzare un pò con le nuove "regole" che il campo impone. Allora io ho ragionato in questo modo:
so che $Log(z)=log|z|+jArg(z)$ cioè l'esercizio mi chiede di calcolare il logaritmo principale del numero complesso z che sarebbe (-1). Fin qui ci sono. Allora ho provato a risolvere così: $Log(-1)=log|-1|+jArg(-1)$. Sul logaritmo non ho problemi perche si ragiona come un normale logaritmo quidni avrei che $log|-1|=0$ e mi trovo con quello che dice il mio libro. Il problema invece lo riscontro con l'argomento principale. So che l'argomento principale racchiude tute le determinazioni dell'anomalia che cadono nell'intervallo $(-\pi,\pi]$, tuttavia non riesco a capire il perchè di questa conclusione $Arg(-1)=\pi$.
Sareste così gentili da spiegarmelo per favore?
Perché \(-1\) è un numero reale negativo, quindi si trova sul semiasse reale opposto a quello polare: pertanto il suo argomento principale è \(\pi\).
Fai un disegno, così capisci subito.
Fai un disegno, così capisci subito.
grazie gugo per la risposta. A questo ci ero arrivato intuitivamente ma non capisco bene come impostare analiticamente. Cioè io so che $\theta=Arg(z)$ quindi la mia condizione soddisfa questa relazione: $cos(\theta)+jsen(\theta)=-1$ ? cioè devo trovare i valori per cui quella realzione è vera giusto?
O equivalentemente devo ricercare le soluzioni del sistema: $\{(cos(\theta)=-1),(sen(\theta)=0):}$
Giusto?
P.S. cosa intendi con: "semiasse reale opposto a qualle polare" ?
O equivalentemente devo ricercare le soluzioni del sistema: $\{(cos(\theta)=-1),(sen(\theta)=0):}$
Giusto?
P.S. cosa intendi con: "semiasse reale opposto a qualle polare" ?
Sì, vabbé, formalmente devi determinare il numero \(\theta \in ]-\pi ,\pi]\) tale che:
\[
\begin{cases} \cos \theta =-1\\ \sin \theta =0\; .\end{cases}
\]
In generale l'argomento principale di un numero complesso \(z\) è l'unico \(\theta \in ]-\pi ,\pi]\) tale che
\begin{cases} \cos \theta =\frac{\Re e(z)}{|z|}\\ \sin \theta = \frac{\Im m(z)}{|z|}\; .\end{cases}
Per quanto riguarda l'altra questione in P.S., ricorderai che, quando si introducono le coordinate polari nel piano, si fissano un punto, detto polo, ed una semiretta uscente da esso, chiamata asse polare, a partire dalla quale si misurano le ampiezze delle anomalie.
Nel sistema di coordinate polari del piano di Gauss, il polo coincide con lo zero e l'asse polare con il semiasse reale positivo.
Dato che \(-1\) è un numero reale negativo, esso sta sul semiasse reale negativo, il quale coincide con la semiretta opposta all'asse polare del piano di Gauss.
\[
\begin{cases} \cos \theta =-1\\ \sin \theta =0\; .\end{cases}
\]
In generale l'argomento principale di un numero complesso \(z\) è l'unico \(\theta \in ]-\pi ,\pi]\) tale che
\begin{cases} \cos \theta =\frac{\Re e(z)}{|z|}\\ \sin \theta = \frac{\Im m(z)}{|z|}\; .\end{cases}
Per quanto riguarda l'altra questione in P.S., ricorderai che, quando si introducono le coordinate polari nel piano, si fissano un punto, detto polo, ed una semiretta uscente da esso, chiamata asse polare, a partire dalla quale si misurano le ampiezze delle anomalie.
Nel sistema di coordinate polari del piano di Gauss, il polo coincide con lo zero e l'asse polare con il semiasse reale positivo.
Dato che \(-1\) è un numero reale negativo, esso sta sul semiasse reale negativo, il quale coincide con la semiretta opposta all'asse polare del piano di Gauss.
ok grazie gugo ora mi è tutto più chiaro. Ancora una domanda: perchè $\theta in (-\pi,\pi]$? Cioè perchè l'intervallo è aperto a sinistra?
Ancora una domanda: perchè $\theta in (-\pi,\pi]$? Cioè perchè l'intervallo è aperto a sinistra?
Per definizione di argomento principale.
Ed anche perché, se l'intervallo fosse chiuso anche a sinistra, i numeri reali negativi si troverebbero ad avere due argomenti principali.
Ed anche perché, se l'intervallo fosse chiuso anche a sinistra, i numeri reali negativi si troverebbero ad avere due argomenti principali.
Salve ragazzi. Gentilmente sareste così gentili da dirmi se è fatto bene questo esercizio? L'esercizio è il seguente:
Calcolare $"Log"(exp(z))$.
Allora so che $exp(z)=e^z$ dunque in altri termini, l'esercizio mi chiede di calcolare il logaritmo principale del numero complesso $e^z$, cioè devo risolvere: $"Log"(e^z)$.
So che: $"Log"(e^z)=log(|e^z|)+j"Arg"(z)$ (se ho sbagliato vi prego di dirmelo)
Comunque alla fine ottengo questo: $"Log"(e^z) = log(e^(Rez))+j (cos(\theta)+jsin(\theta))$
E' giusto? Ho qualche dubbio...credo di aver sbagliato qualcosa :S
P.S. chiedo scusa ma non so perchè il Log della formula esce scritto così, se qualcuno gentilmente mi dice come scriverlo lo correggo
Calcolare $"Log"(exp(z))$.
Allora so che $exp(z)=e^z$ dunque in altri termini, l'esercizio mi chiede di calcolare il logaritmo principale del numero complesso $e^z$, cioè devo risolvere: $"Log"(e^z)$.
So che: $"Log"(e^z)=log(|e^z|)+j"Arg"(z)$ (se ho sbagliato vi prego di dirmelo)
Comunque alla fine ottengo questo: $"Log"(e^z) = log(e^(Rez))+j (cos(\theta)+jsin(\theta))$
E' giusto? Ho qualche dubbio...credo di aver sbagliato qualcosa :S
P.S. chiedo scusa ma non so perchè il Log della formula esce scritto così, se qualcuno gentilmente mi dice come scriverlo lo correggo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo