Funzioni nel campo complesso
Salve ragazzi mi sto accingendo a studiare per l'esame di metodi ed ho riscontrato qualche problema con alcune proprietà delle funzioni elementari definite nel campo complesso. Il mio primo problema è che non riesco a capire perchè la funzione esponenziale è periodica di $2\pij$. Sul mio libro riporta questa uguaglianza: $e^z=e^(z+2k\pij), AA k in ZZ, z in CC$ ma anche un ignorante sa che quell'uguaglianza è vera se $k=0$. Sareste cosi gentili da spiegarmi perchè vale per ogni k e che cosa significa che è periodica? Per caso c'entra la formula di Eulero?
Grazie in anticipo
Grazie in anticipo
Risposte
Come fa l'argomento principale di un numero complesso ad essere un numero complesso (invece che reale in \(]-\pi,\pi]\))?
P.S.: Ho corretto il MathML.
P.S.: Ho corretto il MathML.
Grazie gugo per la risposta e la correzione. Tuttavia non ho capito cosa intendi xD potresti ripetere il concetto con altri temrini? Per favore
Se ti riferisci a questo: $....+j(cos(\theta)+jsin(\theta))$...questo l'ho ricavato da $Arg(z)=e^(j\theta)$. E' qui che sbaglio?
Cioè al posto di $Arg(z)$ io devo trovarmi un angolo invece che un espressione?
Se ti riferisci a questo: $....+j(cos(\theta)+jsin(\theta))$...questo l'ho ricavato da $Arg(z)=e^(j\theta)$. E' qui che sbaglio?
Cioè al posto di $Arg(z)$ io devo trovarmi un angolo invece che un espressione?
Devi calcolare \(\operatorname{Log} e^z\), con \(\operatorname{Log}\) determinazione principale del logaritmo complesso.
Per definizione hai:
\[
\operatorname{Log} e^z = \ln |e^z| +\imath\ \operatorname{Arg} (e^z)\; ;
\]
ora, ponendo \(x:=\Re e(z),\ y:=\Im m (z)\) e facendo un po' di conti, trovi:
\[
|e^z| = |e^x\ e^{\imath\ y}| = e^x
\]
mentre \(\operatorname{Arg} (e^z)\) è l'unica soluzione in \(]-\pi,\pi]\) del sistema:
\[
\begin{cases}
\cos \operatorname{Arg} (e^z) = \frac{\Re e(e^z)}{|e^z|}\\
\sin \operatorname{Arg} (e^z) = \frac{\Im m(e^z)}{|e^z|}
\end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad
\begin{cases}
\cos \operatorname{Arg} (e^z) = \frac{\cancel{e^x}\ \cos y}{\cancel{e^x}} =\cos y\\
\sin \operatorname{Arg} (e^z) = \frac{\cancel{e^x}\ \sin y}{\cancel{e^x}} = \sin y
\end{cases}
\]
sicché \(\operatorname{Arg} (e^z)\) è l'unico numero in \(]-\pi,\pi]\) congruo a \(y=\Im m(z)\) modulo \(2\pi\): pertanto esiste un unico \(k=k(z)\in \mathbb{Z}\) tale che \(\operatorname{Arg}(e^z) = y-2k\pi\).
Conseguentemente si ha:
\[
\operatorname{Log} e^z = \ln e^x+\imath\ (y-2k\pi) = x+\imath\ y-\imath\ 2k\pi=z-\imath\ 2k(z)\pi\; .
\]
Ciò importa che, se \(y\in ]-\pi ,\pi]\), i.e. se \(z\) è un numero nella striscia \(S_0:=\mathbb{R}+\imath\ ]-\pi,\pi]\)* (disegnata in figura), allora \(\operatorname{Arg}(e^z)=y\) e dunque:
\[
\operatorname{Log} e^z =z\; ;
\]
[asvg]axes("","");
fill="lightyellow"; path([[-6,-3.141],[6,-3.141],[6,3.141],[-6,3.141],[-6,-3.141]]);
strokewidth=2; line([6,3.141],[-6,3.141]);
stroke="red"; line([-6,-3.141],[6,-3.141]);[/asvg]
mentre se \(z\in S_k:=\mathbb{R}+\imath\ ]-\pi+2k\pi, \pi+2k\pi]\) allora \(k(z)=k\) e:
\[
\operatorname{Log} e^z =z-\imath\ 2k\pi\; .
\]
Quindi \(\operatorname{Log}\) è l'inverso di \(e^z\) ma solo limitatamente alla striscia "principale" \(S_0\).
Questo fatto non deve lasciare interdetti, perché è noto che l'esponenziale complesso è una funzione periodica di periodo \(2\pi\ \imath\) e perciò non può essere globalmente invertibile.
__________
* Se \(A,\ B\subseteq \mathbb{R}\) sono nonvuoti, l'insieme \(A+\imath\ B\) è costituito da tutti e soli i numeri complessi \(z\) tali che \(\Re e (z)\in A\) ed \(\Im m(z)\in B\).
Per definizione hai:
\[
\operatorname{Log} e^z = \ln |e^z| +\imath\ \operatorname{Arg} (e^z)\; ;
\]
ora, ponendo \(x:=\Re e(z),\ y:=\Im m (z)\) e facendo un po' di conti, trovi:
\[
|e^z| = |e^x\ e^{\imath\ y}| = e^x
\]
mentre \(\operatorname{Arg} (e^z)\) è l'unica soluzione in \(]-\pi,\pi]\) del sistema:
\[
\begin{cases}
\cos \operatorname{Arg} (e^z) = \frac{\Re e(e^z)}{|e^z|}\\
\sin \operatorname{Arg} (e^z) = \frac{\Im m(e^z)}{|e^z|}
\end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad
\begin{cases}
\cos \operatorname{Arg} (e^z) = \frac{\cancel{e^x}\ \cos y}{\cancel{e^x}} =\cos y\\
\sin \operatorname{Arg} (e^z) = \frac{\cancel{e^x}\ \sin y}{\cancel{e^x}} = \sin y
\end{cases}
\]
sicché \(\operatorname{Arg} (e^z)\) è l'unico numero in \(]-\pi,\pi]\) congruo a \(y=\Im m(z)\) modulo \(2\pi\): pertanto esiste un unico \(k=k(z)\in \mathbb{Z}\) tale che \(\operatorname{Arg}(e^z) = y-2k\pi\).
Conseguentemente si ha:
\[
\operatorname{Log} e^z = \ln e^x+\imath\ (y-2k\pi) = x+\imath\ y-\imath\ 2k\pi=z-\imath\ 2k(z)\pi\; .
\]
Ciò importa che, se \(y\in ]-\pi ,\pi]\), i.e. se \(z\) è un numero nella striscia \(S_0:=\mathbb{R}+\imath\ ]-\pi,\pi]\)* (disegnata in figura), allora \(\operatorname{Arg}(e^z)=y\) e dunque:
\[
\operatorname{Log} e^z =z\; ;
\]
[asvg]axes("","");
fill="lightyellow"; path([[-6,-3.141],[6,-3.141],[6,3.141],[-6,3.141],[-6,-3.141]]);
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mentre se \(z\in S_k:=\mathbb{R}+\imath\ ]-\pi+2k\pi, \pi+2k\pi]\) allora \(k(z)=k\) e:
\[
\operatorname{Log} e^z =z-\imath\ 2k\pi\; .
\]
Quindi \(\operatorname{Log}\) è l'inverso di \(e^z\) ma solo limitatamente alla striscia "principale" \(S_0\).
Questo fatto non deve lasciare interdetti, perché è noto che l'esponenziale complesso è una funzione periodica di periodo \(2\pi\ \imath\) e perciò non può essere globalmente invertibile.
__________
* Se \(A,\ B\subseteq \mathbb{R}\) sono nonvuoti, l'insieme \(A+\imath\ B\) è costituito da tutti e soli i numeri complessi \(z\) tali che \(\Re e (z)\in A\) ed \(\Im m(z)\in B\).
Scusa gugo ma ho capito fino al calcolo di $Arg(e^z)$. Fatto ciò devo risolvere quel sistema giusto? Se è cosi allora si ha: $Arg(e^z)=y$. Allora $Arg(e^z)=Im(z)+2k\pi$ cioè $Arg(e^z)=y+2k\pi$ perchè tu mi dici che è $y-2k\pi$???
Capirai che differenza... 
\(k\) è intero, quindi il segno lì davanti non ha grossa importanza.
Esempio: prova a calcolare qual è l'argomento di \(\exp \left(1+\frac{100\pi }{3}\ \imath\right)\).
\(k\) è intero, quindi il segno lì davanti non ha grossa importanza.
Esempio: prova a calcolare qual è l'argomento di \(\exp \left(1+\frac{100\pi }{3}\ \imath\right)\).
ok allora grazie mille gugo credo di aver capito come risolvere queste equazioni...per quanto riguarda l'intepretazione geometrica devo rimandare perchè non ho molta dimistichezza con queste cose figuriamoci con la rappresentazione xD 
.
Comunque se ho qualche problema posto sempre qui. Grazie ancora
P.S. L'ultima funzione che mi hai scritto non si vede bene ma comunque credo di aver capito
. Comunque se ho qualche problema posto sempre qui. Grazie ancora
P.S. L'ultima funzione che mi hai scritto non si vede bene ma comunque credo di aver capito
Prego.
Ah, ho modificato la funzione, che ora si legge in tutto il suo splendore.
Ah, ho modificato la funzione, che ora si legge in tutto il suo splendore.
ok grazie mille gugo. Comunque ho calcolato l'argomento della funzione ed ho trovato che è: $Arg(e^z)=120°$ dove $z=1+100\pi/3$. Scusa ma non ricordo com'è 120 in radianti xD
P.S. Devo adoperare lo stesso procedimento anche calcolando $log(exp(z))$? Mi spiego, siccome so che $log(z)=log|z|+j(\theta+2k\pi)$ allora nel mio caso sarà $log(e^z)=log|e^z|+j(arg(e^z)+2k\pi)$ giusto?
Comunque ho calcolato l'argomento della funzione ed ho trovato che è: $Arg(e^z)=120°$ dove $z=1+100\pi/3$. Scusa ma non ricordo com'è 120 in radianti xDP.S. Devo adoperare lo stesso procedimento anche calcolando $log(exp(z))$? Mi spiego, siccome so che $log(z)=log|z|+j(\theta+2k\pi)$ allora nel mio caso sarà $log(e^z)=log|e^z|+j(arg(e^z)+2k\pi)$ giusto?
Se $180°=pi$ allora $60°=pi/3$ e dunque $120°=2/3pi$
grazie per la puntualizzazione gio ma a quest'ora non mi andava di farlo xD sono un pò pigro
P.S. Siccome il mio pc è lento ho visto solo ora i post di @dissonance e @gio riguardo la rappresentazione geometrica, pertanto mi scuso con loro se non ho tenuto conto dei loro post. Per questo non mi spiegavo come ci fossero due pagine xD. Comunque ringrazio dissonance per il libro di riferimento credo che gli darò un occhiata. Ho solo una domanda da rivolgervi e cioè: sulle dispense del mio prof, nel capitolo relativo alla funzione esponenziale nel campo complesso, dà una rappresentazione geometrica che non ho compreso a pieno. Rappresenta il numero $\omega=e^z$ prima nel piano della $z$ e poi in quello di $\omega$. Io non ho cpaito bene il secondo. Cioè io so che $\omega=e^z=e^x(cosy+jsiny)$ e su questo non ci piove, dunque per rappresentarla geometricamente dovrei considerare il raggio della circonferenza che in questo caso è $e^x$, dunque devo considerare il grafico della funzione reale di variabile reale dell'esponenziale che tutti ben conosciamo. Sul mio libro invece riporta una circonferenza su un sistema di assi cartesiani non ben definito e dice che è relativo a $|\omega|=e^(x_0)$ avendo posto: $Re(z)=x_0$ e $Im(z)=y_0$. In sostanza io non ho capito perchè a $|\omega|$ si associa quella rappresentazione. Sapreste spiegarmelo?
P.S. Siccome il mio pc è lento ho visto solo ora i post di @dissonance e @gio riguardo la rappresentazione geometrica, pertanto mi scuso con loro se non ho tenuto conto dei loro post. Per questo non mi spiegavo come ci fossero due pagine xD. Comunque ringrazio dissonance per il libro di riferimento credo che gli darò un occhiata
. Ho solo una domanda da rivolgervi e cioè: sulle dispense del mio prof, nel capitolo relativo alla funzione esponenziale nel campo complesso, dà una rappresentazione geometrica che non ho compreso a pieno. Rappresenta il numero $\omega=e^z$ prima nel piano della $z$ e poi in quello di $\omega$. Io non ho cpaito bene il secondo. Cioè io so che $\omega=e^z=e^x(cosy+jsiny)$ e su questo non ci piove, dunque per rappresentarla geometricamente dovrei considerare il raggio della circonferenza che in questo caso è $e^x$, dunque devo considerare il grafico della funzione reale di variabile reale dell'esponenziale che tutti ben conosciamo. Sul mio libro invece riporta una circonferenza su un sistema di assi cartesiani non ben definito e dice che è relativo a $|\omega|=e^(x_0)$ avendo posto: $Re(z)=x_0$ e $Im(z)=y_0$. In sostanza io non ho capito perchè a $|\omega|$ si associa quella rappresentazione. Sapreste spiegarmelo?
ho detto qualche eresia? se non rispondete presumo di si..chiedo scusa se l'ho fatto XD
Ciao Paolo,
guarda che io non sono assolutamente in grado di aiutarti, qui faccio solo domande.
Se ti vanno bene i dubbi invece che le certezze, possiamo parlarne...
guarda che io non sono assolutamente in grado di aiutarti, qui faccio solo domande.
Se ti vanno bene i dubbi invece che le certezze, possiamo parlarne...
Quello che citi è il modo standard di rappresentare una funzione complessa.
Praticamente si prendono le rette orizzontali e verticali del piano di partenza, i.e. le rette d'equazione \(\Im m(z)= y_0\) o \(\Re e(z)=x_0\), e si rappresentano sul piano d'arrivo le curve in cui tali rette si trasformano, i.e. quelle d'equazione \(w=f(x+\imath\ y_0)\) e \(w=f(x_0+\imath\ y)\).
Per la trasformazione esponenziale \(w=f(z)\) si vede cha le retta parallela all'asse reale \(\Im m(z) =y_0\) si trasforma nella semiretta uscente dall'origine che forma un angolo \(y_0\) col semiasse reale positivo, poiché \(w=e^x\ e^{\imath\ y_0}\); d'altra parte la retta parallela all'asse immaginario \(\Re e(z)=x_0\) si trasforma nella circonferenza di centro \(0\) e raggio \(e^{x_0}\), perché \(w=e^{x_0}\ e^{\imath\ y}\).
Sul libro di Needham consigliato da dissonance questa faccenda la dovresti trovare spiegata per bene.
Praticamente si prendono le rette orizzontali e verticali del piano di partenza, i.e. le rette d'equazione \(\Im m(z)= y_0\) o \(\Re e(z)=x_0\), e si rappresentano sul piano d'arrivo le curve in cui tali rette si trasformano, i.e. quelle d'equazione \(w=f(x+\imath\ y_0)\) e \(w=f(x_0+\imath\ y)\).
Per la trasformazione esponenziale \(w=f(z)\) si vede cha le retta parallela all'asse reale \(\Im m(z) =y_0\) si trasforma nella semiretta uscente dall'origine che forma un angolo \(y_0\) col semiasse reale positivo, poiché \(w=e^x\ e^{\imath\ y_0}\); d'altra parte la retta parallela all'asse immaginario \(\Re e(z)=x_0\) si trasforma nella circonferenza di centro \(0\) e raggio \(e^{x_0}\), perché \(w=e^{x_0}\ e^{\imath\ y}\).
Sul libro di Needham consigliato da dissonance questa faccenda la dovresti trovare spiegata per bene.
scusami gugo ma non riesco a capire ancora! forse il mio problema è che non so come si "trasformano" queste rette. Potresti esere più chiaro per favore? 
Allora: le rette di equazioni $Re(z)=x_0$ e $Im(z)=y_0$ sono rappresentate nel diagramma da due rette parelle agli assi rispettivamente delle ordinate e delle ascisse. Ora, come faccio a passarle nel diagramma delle $\omega$? Cioè come faccio a trasformarle?
Allora: le rette di equazioni $Re(z)=x_0$ e $Im(z)=y_0$ sono rappresentate nel diagramma da due rette parelle agli assi rispettivamente delle ordinate e delle ascisse. Ora, come faccio a passarle nel diagramma delle $\omega$? Cioè come faccio a trasformarle?
Te l'ho scritto: basta calcolare \(f\) su ognuna di quelle rette.
ah quindi dovrei fare: $f(z)=e^z => f(x+jy_0)=e^(x+jy_0)$ e $f(x_0+jy)=e^(x_0+jy)$ giusto?
Da cui dalla prima mi torna: $e^x*e^(jy_0)=e^x(cos(y_0)+jsin(y_0))$ che è la circonferenza di raggio $e^x$ e angolo $y_0$.
Dalla seconda invece mi torna: $e^(x_0)(cosy+jsiny)$ analogamente...poi?
Cioè la prima mi da il raggio della circonferenza in funzione del parametro reale, la seconda invece l'angolo in funzione del parametro reale y!
Da cui dalla prima mi torna: $e^x*e^(jy_0)=e^x(cos(y_0)+jsin(y_0))$ che è la circonferenza di raggio $e^x$ e angolo $y_0$.
Dalla seconda invece mi torna: $e^(x_0)(cosy+jsiny)$ analogamente...poi?
Cioè la prima mi da il raggio della circonferenza in funzione del parametro reale, la seconda invece l'angolo in funzione del parametro reale y!
Ciao ragazzi avrei una domanda da porvi. Sto studiando le singolarità isolate. Da quello che ho capito, un punto in $CC$ si dice punto di singolarità quando la funzione in quel punto non è olomorfa, cioè non esiste il rapporto incrementale. Il mio dubbio è: il concetto di olomorfia è equivalente al concetto di derivabilità per funzioni reali di variabile reale? Mi spiego: se in qualche modo riesco a prolungare per continuità la funzione in tale punto, posso dire con certezza che la funzione è anche olomorfa oppure potrebbe non esserlo? Come dire che una funzione reale di variabile reale è continua ma non derivabile in un punto.
Spero che dal post si capisca cosa intendo xD
Spero che dal post si capisca cosa intendo xD
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