Funzioni invertibili

[chess71]

E' vero che una funzione f: R->R è invertibile se e solo se è continua e strettamente monotona?

grazie in anticipo

[Rigel1]

No; ad esempio la funzione \(f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definita da
\[f(x) := \begin{cases}
x, &\text{se}\ x\leq 0,\\
1/x, &\text{se}\ x > 0,
\end{cases}
\]
è biiettiva ma non è né continua né strettamente monotona.

[chess71]

grazie.

Non posso esimermi dall'esprimere un sincero ringraziamento per la possibilità di poter ricevere quasi qualsiasi sorta di delucidazione in tempo quasi reale; 20 anni fa questo era impensabile

grazie a tutti

[yellow2]

Devi spostare l'ipotesi di continuità dall'altro lato! Una funzione continua $RR->RR$ è invertibile se e solo se (suriettiva e) strettamente monotona. Ho messo la suriettività tra parentesi perché, se non è suriettiva, puoi in ogni caso invertirla sulla sua immagine (sulla quale è suriettiva).