Funzioni intere
sia $f$ intera tale che $|f(z)| \leq A |z|^k +B$ con $A,B \in C$ e $k\in Z$ dimostrare allora che $f$ è un polinomio (possibilmente con teoremi : massimo modulo, principio dell'argomento, mappa aperta, Liouville) grazie in anticipo a tutti
Risposte
Mah, io ti do una dimostrazione che generalizza quella di Liouville ( che conosco io).
That is: sappiamo che $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$ su tutto $CC$
(dove $z_0$ è in qualunque numero complesso, per esempio $z_0=0$) e sappiamo che:
$a_n=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B_R(z_0)}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz$
$\partial B_R(z_0)$ è la circonferenza di raggio $R$; nota che $R$ può essere preso arbitrariamente
grande dato che $f$ è intera. Allora:
$|a_n|\leq \frac{1}{2\pi} 2\pi R \frac{AR^k+B}{R^{n+1}}$ qualunque sia $R$
da cui $a_n=0$ per $n\geq k$
That is: sappiamo che $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$ su tutto $CC$
(dove $z_0$ è in qualunque numero complesso, per esempio $z_0=0$) e sappiamo che:
$a_n=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B_R(z_0)}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz$
$\partial B_R(z_0)$ è la circonferenza di raggio $R$; nota che $R$ può essere preso arbitrariamente
grande dato che $f$ è intera. Allora:
$|a_n|\leq \frac{1}{2\pi} 2\pi R \frac{AR^k+B}{R^{n+1}}$ qualunque sia $R$
da cui $a_n=0$ per $n\geq k$
Sì infatti è semplice sfruttando la proprietà di media e la definizione di funzione intera: tutto diventa una diretta generalizzazione del Teorema di Liouville. 
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