Funzioni di variabile complessa

[Webster]

Ho bisogno del vostro aiuto per comprendere alcuni concetti riguardanti le funzioni a variabile complessa.Innanzitutto il mio libro di testo propone il seguente esempio:la funzione $f(z)=z$ è intera ma $f(z)=bar(z)$ è non differenziabile.La prima affermazione mi pare di poterla giustificare dicendo che $f(z)=z$ è analitica per qualsiasi valore finito di z ma la seconda non mi è chiara.Un altro dubbio riguarda il seguente ragionamento esposto nel testo:se una funzione $f$ è differenziabile in $z0$ allora $f'(z0)-(f(z)-f(z0))/(z-z0)=O(z-z0)$ e moltiplicando per $z-z0$ abbiamo $f(z)-f(z0)=f'(z0)(z-z0) + o(z-z0)$.E' quest'ultima parte che mi lascia perplesso:infatti,svolgendo i conti,non dovrebbe venire $f(z)-f(z0)=f'(z0)(z-z0) + O(z-z0)$ ? In fine non ho ben compreso come dimostrare che la derivata del logaritmo complesso di una funzione $f(z)$ è $f(z)/(f'(z))$.Vi ringrazio dell'aiuto.

[Seneca1]

1) La funzione $f(z) = \bar(z)$ non soddisfa le equazioni di Cauchy-Riemann.

2) Io direi che $f'(z_0) - (f(z) - f(z_0))/(z - z_0) = o(1)$ e quindi $f(z) - f(z_0) = f'(z_0) ( z - z_0) + o(z - z_0)$.

3) Veramente è: $d/(dz) log( f(z) ) = (f'(z))/(f(z))$

[Camillo]

Per il punto 1) puoi calcolare il limite del rapporto incrementale ( applicando cioè la definizione di derivata complessa) : se la funzione è derivabile in senso complesso allora il valore del limite ( che è la derivata complessa) deve essere uguale qualunque sia l'incremento della variabile $z$.
Considero $f(z)= bar z = x-iy $; sia $t in RR$

$lim_(t rarr 0)(f(z+t)-f(z))/t = lim_(t rarr 0)(x-iy+t-x+iy)/t=1 $ - [incremento reale puro : $t$]
$lim_(t rarr0 )(f(z+it)-f(z))/(it)= lim_(t rarr0)(x-i(y+t)-x+iy)/(it)= -1 $ - [incremento immaginario puro : $it$]
poichè $1 ne -1$ la funzione non è derivabile in senso complesso.
Svolgendo analogo calcolo con la funzione $f(z)=z $ si ottene che i due limiti sono uguali e pari a $1$ e quindi la funzione è derivabile.

[Webster]

Ma come dimostro che $d/dz ln(f(z))=(f'(z))/f(z)$ ?

[yellow2]

Beh intanto, che definizione hai del logaritmo complesso?

[Seneca1]

Scegliendo la determinazione principale del logaritmo complesso, per esempio:

$lg(z) = log|z| + i Arg(z)$

$lg(z) = 1/2 * log(x^2 + y^2 ) + i arctan(y/x) ( + \pi )$

La presenza o meno della costante $\pi$ è ininfluente sul risultato, poiché le costanti spariscono quando vai a fare le derivate parziali.

$d/(dz) lg(z) = \partial_z ( lg(z) ) = 1/2 ( \partial_x - i \partial_y ) ( 1/2 * log(x^2 + y^2 ) + i arctan(y/x) )$

Calcolando un po' di derivate si trova: $d/(dz) lg(z) = ( x - i y )/( x^2 + y^2) = bar(z)/(z * bar(z)) = 1/z$.


Per trovare la formula che hai scritto tu basta usare il teorema di derivazione della funzione composta (che è nient'altro che il trasporto al campo complesso della regola di derivazione che conosci bene)...

[Seneca1]

Nota: l'operatore $\partial_z$ così definito: $\partial_z = 1/2 ( \partial_x - i \partial_y )$, applicato ad $f$, non è nient'altro che la derivata complessa $f'$.

[Webster]

Perchè è così definito l'operatore di derivata rispetto a z?

[Seneca1]

Prova a dare un'occhiata a questo post di dissonance. Mi sembra risponda alla tua domanda...

[dissonance]

"Seneca":Prova a dare un'occhiata a questo post di dissonance. Mi sembra risponda alla tua domanda...

Si ma meglio di quel post è il paragrafo 1: "Cauchy - Riemann revisited" del capitolo 5 di Visual Complex Analysis di Needham. Spiega con un bellissimo disegnino come esprimere \(df/dz\) in coordinate cartesiane e polari in modo molto intuitivo e visual, facile da ricordare.