Funzioni di due variabili.Punto di sella.
Ciao a tutti!
Non riesco a risolvere questo esercizio.
La funzione è $ f(x;y)=x^4+y^4-2x^2-2y^2+4xy+2$, mi chiede di determinare la natura del punto $P(0;0)$ (deve venire punto di sella).
Dunque,il determinante della matrice Hessiana viene zero,per cui è necessario applicare la definizione.
Di sicuro $x^4$ e $y^4$ sono sempre positivi mentre $-2x^2$ e $-2y^2$ sempre negativi (il 2 scompare applicando la formula).
Il problema si presenta per $4xy$.
Se sostituisco il punto viene 0=0 per cui non capisco che segno attribuirgli.
Grazie in anticipo!:)
Non riesco a risolvere questo esercizio.
La funzione è $ f(x;y)=x^4+y^4-2x^2-2y^2+4xy+2$, mi chiede di determinare la natura del punto $P(0;0)$ (deve venire punto di sella).
Dunque,il determinante della matrice Hessiana viene zero,per cui è necessario applicare la definizione.
Di sicuro $x^4$ e $y^4$ sono sempre positivi mentre $-2x^2$ e $-2y^2$ sempre negativi (il 2 scompare applicando la formula).
Il problema si presenta per $4xy$.
Se sostituisco il punto viene 0=0 per cui non capisco che segno attribuirgli.
Grazie in anticipo!:)
Risposte
Che segno ha \(xy\), intorno a \((0,0)\)? Non considerare i termini di quarto grado, sono trascurabili rispetto a quelli di secondo grado.
Se pongo $xy>0$ avrò $x>0$ e $y>0$, dunque verificano la condizione il primo ed il terzo quadrante. Quindi $(0,0)$ ha come suo intorno valori sia positivi che negativi(secondo e quarto quadrante).
Per cui, di per sé $xy$ è un punto sella,ma il resto della funzione non lo considero?
Per cui, di per sé $xy$ è un punto sella,ma il resto della funzione non lo considero?
Scusa un attimo, poi parliamo degli altri termini, ma vorrei tu mi spiegassi una cosa. Perché dici "deve venire punto di sella"? Il pezzo quadratico si può riscrivere come
\[
-2x^2-2y^2+4xy=-2(x-y)^2.\]
Quindi la retta \(x=y\) è una retta di massimi locali per il termine quadratico.
Ora, per \((x, y)\to (0,0)\) il termine \(x^4+y^4\) è un infinitesimo di ordine superiore al secondo. Mi aspetto quindi che esso sia trascurabile rispetto al termine quadratico. In conclusione, io mi aspetto che \((x, y)=(0,0)\) sia un massimo locale.
\[
-2x^2-2y^2+4xy=-2(x-y)^2.\]
Quindi la retta \(x=y\) è una retta di massimi locali per il termine quadratico.
Ora, per \((x, y)\to (0,0)\) il termine \(x^4+y^4\) è un infinitesimo di ordine superiore al secondo. Mi aspetto quindi che esso sia trascurabile rispetto al termine quadratico. In conclusione, io mi aspetto che \((x, y)=(0,0)\) sia un massimo locale.
Capisco perfettamente il ragionamento.
La soluzione dovrebbe essere "punto di sella",è uno degli esercizi forniti dal mio pofessore di corso.
Sarà sbagliato l'esercizio,non so.
Mi permetto di fare un altro esempio,perché a questo punto deve essere sbagliato anche questo.
$f(x;y)=x^4-4x^2y+3y^2-1$,anche qui si considera $P(0;0)$ e anche qui la soluzione fornita è punto di sella,quando applicando il ragionamento del precedente,verrebbe massimo anche qui.
Sono completamente in confusione
La soluzione dovrebbe essere "punto di sella",è uno degli esercizi forniti dal mio pofessore di corso.
Sarà sbagliato l'esercizio,non so.
Mi permetto di fare un altro esempio,perché a questo punto deve essere sbagliato anche questo.
$f(x;y)=x^4-4x^2y+3y^2-1$,anche qui si considera $P(0;0)$ e anche qui la soluzione fornita è punto di sella,quando applicando il ragionamento del precedente,verrebbe massimo anche qui.
Sono completamente in confusione
NOOOO no no no, ho detto una cavolata, scusami tanto. Ha ragione il prof, quello era un punto di sella. Il discorso sui termini quadratici e di quarto grado buttalo via.
Riscrivendo
\[
x^4+y^4-2x^2-2y^2+4xy+2=x^4+y^4-2(x-y)^2+2, \]
si vede subito che lungo la direzione \(x=y\) la funzione aumenta, mentre lungo tutte le altre direzioni essa diminuisce. Quindi il punto è effettivamente una sella.
Riscrivendo
\[
x^4+y^4-2x^2-2y^2+4xy+2=x^4+y^4-2(x-y)^2+2, \]
si vede subito che lungo la direzione \(x=y\) la funzione aumenta, mentre lungo tutte le altre direzioni essa diminuisce. Quindi il punto è effettivamente una sella.
Quindi era necessario scrivere i tre termini sotto forma del quadrato di binomio(evitando così di sostituire $xy$ con il punto)? Se non l'avessi fatto,come ci si poteva arrivare alla stessa conclusione?
Allora, il problema è solo di studiare la disuguaglianza
\[
x^4+y^4-2(x-y)^2\ge 0, \]
in un intorno di \((0,0)\). Scritta così, con il quadrato completato, è molto più facile, e questo è un trucco del mestiere; ogni volta che ne hai la possibilità, cerca di completare i quadrati. Ora tu mi chiedi: "Senza completare il quadrato, ci potevo arrivare lo stesso?"
Beh, si, immagino di si, ma non mi sento molto motivato a pensarci, visto che abbiamo già risolto l'esercizio. Scrivi la soluzione per bene, con tutti i dettagli, e poi passa a un altro esercizio, è molto più efficiente.
\[
x^4+y^4-2(x-y)^2\ge 0, \]
in un intorno di \((0,0)\). Scritta così, con il quadrato completato, è molto più facile, e questo è un trucco del mestiere; ogni volta che ne hai la possibilità, cerca di completare i quadrati. Ora tu mi chiedi: "Senza completare il quadrato, ci potevo arrivare lo stesso?"
Beh, si, immagino di si, ma non mi sento molto motivato a pensarci, visto che abbiamo già risolto l'esercizio. Scrivi la soluzione per bene, con tutti i dettagli, e poi passa a un altro esercizio, è molto più efficiente.
D'accordo,grazie mille!:)
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