Funzioni di due variabili, estremi e studio locale
Ho dei dubbi nello studio locale dei punti per la ricerca degli estremi.
Cioè quando l'hessiano nel punto è uguale a 0 si effettua lo studio locale per determinare la natura del punto, ma non sono molto bravo.
A quanto ho capito bisogna utilizzare la definizione di estremo relativo, ora, in genere si propone qualcosa su cui si hanno dubbi, ma al momento non ho esercizi dove ho trovato l'hessiano nullo, non è che qualcuno potrebbe proporre una funzione di due variabili da studiare, così faccio i conti e poi magari più avanti mi aiutate a capire come effettuare lo studio locale?
Grazie.
Cioè quando l'hessiano nel punto è uguale a 0 si effettua lo studio locale per determinare la natura del punto, ma non sono molto bravo.
A quanto ho capito bisogna utilizzare la definizione di estremo relativo, ora, in genere si propone qualcosa su cui si hanno dubbi, ma al momento non ho esercizi dove ho trovato l'hessiano nullo, non è che qualcuno potrebbe proporre una funzione di due variabili da studiare, così faccio i conti e poi magari più avanti mi aiutate a capire come effettuare lo studio locale?
Grazie.
Risposte
Ecco due funzioni per le quali l'origine è punto da studiare localmente per determinarne la natura :
$f(x,y)= x^2y-x^4-y^3$
$f(x.y)= x^2/3-xy^2+2y^3 $
Buon lavoro !
$f(x,y)= x^2y-x^4-y^3$
$f(x.y)= x^2/3-xy^2+2y^3 $
Buon lavoro !
Ho studiato la prima, i punti estremanti che trovo sono 3.
L'origine da studiare localmente, e altri due che mi vengono massimi relativi.
Per l'origine seguendo quanto da te detto dovrei studiare quando:
[tex]x^2y-x^4-y^3>0[/tex]
Bello....
Posso mettere in comune e fare un raccoglimento parziale o devo risolvere diversamente?
L'origine da studiare localmente, e altri due che mi vengono massimi relativi.
Per l'origine seguendo quanto da te detto dovrei studiare quando:
[tex]x^2y-x^4-y^3>0[/tex]
Bello....
Posso mettere in comune e fare un raccoglimento parziale o devo risolvere diversamente?
Esatto in questo caso $Delta f =f(x,y) = x^2y-x^4-y^3 $ .
Prova a studiarne il segno lungo una curva " furba " , nel caso l'asse $y $ di equazione $x=0 $ ....
Prova a studiarne il segno lungo una curva " furba " , nel caso l'asse $y $ di equazione $x=0 $ ....
Nel caso [tex]x=0[/tex] otterei che [tex]-y^3>0[/tex] se [tex]y<0[/tex]
Quindi...potrei dedurre che ci sono punti in cui è positiva, negativa, dunque il punto è di sella?
Quindi...potrei dedurre che ci sono punti in cui è positiva, negativa, dunque il punto è di sella?
Esatto
Ah....perfetto...quindi scusa l'ultima cosa, dopo aver fatto il lavoro ed aver ottenuto la funzione ci cui studiare il segno, se ho più di una variabile per facilitare le cose posso ad esempio studiare sempre lungo un asse la funzione e otterò ciò che cerco coem per questo caso?
Grazie anticipatamente...
Grazie anticipatamente...
Per quanto riguarda la seconda funzione da te proposta, trovo due punti estremanti, entrambi selle.
In particolare l'origine in cui faccio lo studio locale e devo studiare il segno di:
[tex]x^2-3xy^2+6y^3>0[/tex]
Allora ho pensato di fare come mi hai suggerito prima di studiare lungo l'asse y di equazione x=0 e ottengo
[tex]6y^3>0[/tex]
Da questa verificata solo per [tex]y>0[/tex] deduco che ci sono punti dove la funzione è positiva, altri dov'è negativa, allora il punto dovrebbe essere di sella.
In particolare l'origine in cui faccio lo studio locale e devo studiare il segno di:
[tex]x^2-3xy^2+6y^3>0[/tex]
Allora ho pensato di fare come mi hai suggerito prima di studiare lungo l'asse y di equazione x=0 e ottengo
[tex]6y^3>0[/tex]
Da questa verificata solo per [tex]y>0[/tex] deduco che ci sono punti dove la funzione è positiva, altri dov'è negativa, allora il punto dovrebbe essere di sella.
Sì, l'origine è punto di sella ; in aggiunta c'è solo un altro punto critico pure di sella di coordinate $(6,2) $.
Ecco ora un esercizio diverso e forse un po' più impegnativo:
Studiare i punti critici e determinarne la natura per la funzione $f(x,y)= 1+x^3y^4 $.
Ecco ora un esercizio diverso e forse un po' più impegnativo:
Studiare i punti critici e determinarne la natura per la funzione $f(x,y)= 1+x^3y^4 $.
Mh, allora l'ho fatto, come sistema ho trovato:
[tex]3x^2y^4=0[/tex]
[tex]4x^3y^3=0[/tex]
Senza fare calcoli ad occhio mi sembra si possa dire che l'origine è l'unico punto estremante.
Dovrei verificare il segno di:
[tex]x^3y^4>0[/tex]
Ora prendendole separatamente, abbiamo [tex]x^3>0[/tex] per [tex]x>0[/tex] e l'altra sempre positiva.
Quindi anche in questo caso lo 0 sarebbe di sella perchè abbiamo punti positivi e negativi nella funzione.
Corretto?
P.S come si risponderebbe ad un compito?
Dato che in un intorno dello 0 esistono punti positivi e negativi l'origine è un punto di sella?
[tex]3x^2y^4=0[/tex]
[tex]4x^3y^3=0[/tex]
Senza fare calcoli ad occhio mi sembra si possa dire che l'origine è l'unico punto estremante.
Dovrei verificare il segno di:
[tex]x^3y^4>0[/tex]
Ora prendendole separatamente, abbiamo [tex]x^3>0[/tex] per [tex]x>0[/tex] e l'altra sempre positiva.
Quindi anche in questo caso lo 0 sarebbe di sella perchè abbiamo punti positivi e negativi nella funzione.
Corretto?
P.S come si risponderebbe ad un compito?
Dato che in un intorno dello 0 esistono punti positivi e negativi l'origine è un punto di sella?
Non è vero che l'origine è l'unico punto estremante anzi sono una doppia infinità, se si può usare questo termine !
Risolvi con attenzione il sistema ; basta che ... sia 0 oppure che ... sia 0 perchè il sistema sia verificato.
Risolvi con attenzione il sistema ; basta che ... sia 0 oppure che ... sia 0 perchè il sistema sia verificato.
Cioè un punto è l'origine, gli altri sono quelli del tipo:
[tex](x,0)[/tex] e [tex](0,y)[/tex] ?
Quanto all'origine è corretto ciò che ho fatto?
[tex](x,0)[/tex] e [tex](0,y)[/tex] ?
Quanto all'origine è corretto ciò che ho fatto?
"Darèios89":No, no, no. In OGNI intorno non in uno solo. Prendi questa funzione, di una variabile sola addirittura:
Dato che in un intorno dello 0 esistono punti positivi e negativi l'origine è un punto di sella?
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=-1; ymax=1; axes(); plot("-x^2+x^4");[/asvg]
Mi pare chiaro che $x=0$ sia un punto di massimo. Eppure, se prendiamo un intorno abbastanza grande, ci sono valori di tutti i tipi: positivi, negativi, pure zeri ci sono. Cosa ce ne facciamo? Assolutamente NULLA. Confronta invece con questa funzione
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=-1; ymax=1; axes(); plot("x^3");[/asvg]
qual è la differenza SOSTANZIALE tra questi due grafici? Prendendo intorni sempre più piccoli, cosa succede al primo e cosa al secondo?
Rifletti bene, da solo, prima di rispondere.
Non vedo le foto...scusami..
Ok era un problema mio.
Allora, nel primo prendendo intorni sepre più piccoli ottengo valori sempre negativi, mentre nel secondo ci sono valori sia positivi che negativi in un intorno...piccolo.
Oh no?
La risposta dovrebbe essere che per ogni intorno(quanto piccolo lo prenda) dello 0 ci sono valori positivi e negativi, dunque è una sella?
Allora, nel primo prendendo intorni sepre più piccoli ottengo valori sempre negativi, mentre nel secondo ci sono valori sia positivi che negativi in un intorno...piccolo.
Oh no?
La risposta dovrebbe essere che per ogni intorno(quanto piccolo lo prenda) dello 0 ci sono valori positivi e negativi, dunque è una sella?
Il luogo dei punti critici è costituito dagli assi $x $ e $ y $ .Determina adesso la natura dei punti ...
I punti del tipo [tex](0,y)[/tex]
Non dovrei verifcare quando
[tex]x^3y^4>y[/tex] ?
verificata se non erro se [tex]y\neq0,x>0[/tex]
Se è così mi sembrano dei punti di sella.
Invece per [tex](x,y)[/tex] dovrei vedere quando:
[tex]x^3y^4>x[/tex]
Vera se [tex]x>0[/tex]
Quindi anche in questo caso direi che sono di sella...
Non dovrei verifcare quando
[tex]x^3y^4>y[/tex] ?
verificata se non erro se [tex]y\neq0,x>0[/tex]
Se è così mi sembrano dei punti di sella.
Invece per [tex](x,y)[/tex] dovrei vedere quando:
[tex]x^3y^4>x[/tex]
Vera se [tex]x>0[/tex]
Quindi anche in questo caso direi che sono di sella...
Perchè scrvi $ x^3y^4>y $ ?
Consideriamo i pounti dell'asse $y $ e vediamo cosa succede al segno di $Delta f $ negli intorni di questi punti.
Inizio col considerare un punto con $y>0 $, ci costruisco attorno un intorno tramite un cerchietto di centro il punto e raggio "piccolo" .
Come si comporta $Delta f $ nei punti di questo intorno ? Se mi sposto, sempre nel cerchietto nel I quadrante sarà $x^3y^4 > 0 $; invece se mi sposto nel II quadrante ( sempre nel cerchietto ) allora $x^3y^4 <0 $.
Allora nello stesso intorno di un punto si ha cambio di segno quindi punti di sella .
Se scelgo un punto su asse $y $ ma con $y<0 $ nulla cambia rispetto al ragionamento precedente in quanto appare $y^4$..
Dunque tutto l'asse $y $ è luogo di punti di sella .
Prova ora con l'asse $ x $ : be careful
Consideriamo i pounti dell'asse $y $ e vediamo cosa succede al segno di $Delta f $ negli intorni di questi punti.
Inizio col considerare un punto con $y>0 $, ci costruisco attorno un intorno tramite un cerchietto di centro il punto e raggio "piccolo" .
Come si comporta $Delta f $ nei punti di questo intorno ? Se mi sposto, sempre nel cerchietto nel I quadrante sarà $x^3y^4 > 0 $; invece se mi sposto nel II quadrante ( sempre nel cerchietto ) allora $x^3y^4 <0 $.
Allora nello stesso intorno di un punto si ha cambio di segno quindi punti di sella .
Se scelgo un punto su asse $y $ ma con $y<0 $ nulla cambia rispetto al ragionamento precedente in quanto appare $y^4$..
Dunque tutto l'asse $y $ è luogo di punti di sella .
Prova ora con l'asse $ x $ : be careful
Mh....quindi...rispetto all'asse x devo vedere quando:
Considerando [tex]x>0[/tex]
[tex]x^3y^4>0[/tex]
Dovrebbe valere sempre visto che abbiamo [tex]y^4[/tex]
Invece se [tex]x<0[/tex]
Non è mai verificata, quindi potrei dire che tutto l'asse x è luogo di punti di sella?
Considerando [tex]x>0[/tex]
[tex]x^3y^4>0[/tex]
Dovrebbe valere sempre visto che abbiamo [tex]y^4[/tex]
Invece se [tex]x<0[/tex]
Non è mai verificata, quindi potrei dire che tutto l'asse x è luogo di punti di sella?
Non forzare il segno di $Delta f $ imponendo che sia ad es. $>0 $ ma osserva nelle varie situazioni che segno ha.
Per l'asse positivo delle $x$ sempre mettendosi in intorni ( il cerchietto ) cosa osservi ? che $Delta f >0 $ in quanto $x>0 $ e $ y^4 >0 $ sia che tu sia nel I che nel IV quadrante.Quindi son punti di minimo.
Nel semiasse negativo a te la risposta...
Per l'asse positivo delle $x$ sempre mettendosi in intorni ( il cerchietto ) cosa osservi ? che $Delta f >0 $ in quanto $x>0 $ e $ y^4 >0 $ sia che tu sia nel I che nel IV quadrante.Quindi son punti di minimo.
Nel semiasse negativo a te la risposta...
C'è una parte che non capisco...errore di latex?
Ho riletto i post di prima, non ho capito più nulla......sono confuso....
Allora devo considerare gli assi quindi significa che una volta lavoro in un intorno di:
[tex](0,y)[/tex] e un' altra volta lavorerò in un intorno di [tex](x,0)[/tex]
Ora per il primo intorno significa che vado a vedere cosa succede nell'asse delle y giusto?
Considero [tex]x^3y^4>0[/tex]
intuisco che avendo la y alla quarta sarà sempre positiva e che tutto dipende dalla x, essendo essa al cubo significa che nell'intorno avrò punti che verificano la disuguaglianza e non, quindi l'asse y è costituita da selle.
Se considerao l'asse delle x dovrei considerare [tex]x,0[/tex]
[tex]x^3y^4>0[/tex]
Per y>0 o y<0 sarà sempre positiva, quindi che vuol dire...che la mia x sarà tendenzialmente positiva?
E che l'asse delle x ha punti di minimo?
Se non è così allora vuol dire che non sto riuscendo a capire come muovermi nell'intorno....
Ho riletto i post di prima, non ho capito più nulla......sono confuso....
Allora devo considerare gli assi quindi significa che una volta lavoro in un intorno di:
[tex](0,y)[/tex] e un' altra volta lavorerò in un intorno di [tex](x,0)[/tex]
Ora per il primo intorno significa che vado a vedere cosa succede nell'asse delle y giusto?
Considero [tex]x^3y^4>0[/tex]
intuisco che avendo la y alla quarta sarà sempre positiva e che tutto dipende dalla x, essendo essa al cubo significa che nell'intorno avrò punti che verificano la disuguaglianza e non, quindi l'asse y è costituita da selle.
Se considerao l'asse delle x dovrei considerare [tex]x,0[/tex]
[tex]x^3y^4>0[/tex]
Per y>0 o y<0 sarà sempre positiva, quindi che vuol dire...che la mia x sarà tendenzialmente positiva?
E che l'asse delle x ha punti di minimo?
Se non è così allora vuol dire che non sto riuscendo a capire come muovermi nell'intorno....
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo