Funzioni continue (zeri)
All'ora...questo esercizio è preso dagli appunti del mio prof ma non saprei da dove iniziare...
Allora:
1-Trovare una funzione $f:R->R$ continua tale che $\forall c in R$ L'equazione $f(x)=c$ ha esattamente tre soluzioni.
2- Provare che non esiste alcuna funzione $f:R->R$ continua tale che $\forall c in R$ L'equazione $f(x)=c$ ha esattamente due soluzioni.
3- Per quale $n in N$ l'equazione $f(x)=c$ ha esattamente $n$ soluzioni?
Allora:
1-Trovare una funzione $f:R->R$ continua tale che $\forall c in R$ L'equazione $f(x)=c$ ha esattamente tre soluzioni.
2- Provare che non esiste alcuna funzione $f:R->R$ continua tale che $\forall c in R$ L'equazione $f(x)=c$ ha esattamente due soluzioni.
3- Per quale $n in N$ l'equazione $f(x)=c$ ha esattamente $n$ soluzioni?
Risposte
Provo a dirti come costruire l'esempio 1 - purtroppo non so come inserire una figura che parlerebbe meglio di una definizione scritta.
Prendi $f$ definita come segue
$f(x)=x$ per $0\leq x\leq2$
$f(x)=4-x$ per $2\leq x\leq3$
$f(x)=-2+x$ per $3\leq x\leq 5$
$f(x)=8-x$ per $5\leq x\leq 6$
e continua cosi' (l'idea e' che la derivata e' uno per un tratto llungo due, meno uno per il tratto successivo lungo uno e cosi' via) - nello stesso modo la fai sui negativi.
Mi pare che questa $f$ risponda ai requisiti - fatti un disegno.
Ora provo a pensare al 2, viceversa non capisco bene la domanda al punto 3. Vuoi sapere per quali $n$ e' possibile costruire una $f$ ? se e cosi' scommetterei sui dispari ....
Per curiosita', da che corso escono queste domamde ?
Prendi $f$ definita come segue
$f(x)=x$ per $0\leq x\leq2$
$f(x)=4-x$ per $2\leq x\leq3$
$f(x)=-2+x$ per $3\leq x\leq 5$
$f(x)=8-x$ per $5\leq x\leq 6$
e continua cosi' (l'idea e' che la derivata e' uno per un tratto llungo due, meno uno per il tratto successivo lungo uno e cosi' via) - nello stesso modo la fai sui negativi.
Mi pare che questa $f$ risponda ai requisiti - fatti un disegno.
Ora provo a pensare al 2, viceversa non capisco bene la domanda al punto 3. Vuoi sapere per quali $n$ e' possibile costruire una $f$ ? se e cosi' scommetterei sui dispari ....
Per curiosita', da che corso escono queste domamde ?
allora....
1-non credo che la funzione da te descritta sia continua...
2-per $c=300000000$ non esistono tre soluzioni...
Comunque è un esercizio sulle funzioni continue...quindi non nasce da nulla
1-non credo che la funzione da te descritta sia continua...
2-per $c=300000000$ non esistono tre soluzioni...
Comunque è un esercizio sulle funzioni continue...quindi non nasce da nulla
"angus89":Strana credenza
allora....
1-non credo che la funzione da te descritta sia continua...
"angus89":Dobbiamo crederci?
2-per $c=300000000$ non esistono tre soluzioni...
"angus89":Complimenti per la risposta gentile.
Comunque è un esercizio sulle funzioni continue...quindi non nasce da nulla
Ma non dar peso a questo mio post, sai che sono cattivo e che mi sei antipatico.
"angus89":
allora....
1-non credo che la funzione da te descritta sia continua...
2-per $c=300000000$ non esistono tre soluzioni...
Comunque è un esercizio sulle funzioni continue...quindi non nasce da nulla
1) Scusa ma la funzione che ho cercato di scrivere e' ovviamente contunua - forse non hai capito la costruzione.
Si tratta di una funzione ottenuta incollando rette di cui ti ho dato la regola per le $x$ positive$
in $[0,2]$ salgo da zero a due con la retta $y=x$
in $[2,3]$ scendo da due a uno con la retta $y=2-(x-2)= 4-x$
in $[3,5]$ risalgo da uno a tre con la retta $y=1+(x-3)=-2+x$
e cosi' via - questa funzione e' continua per costruzione
2) Non ho capito se il $c=300000000$ e' ironico .. in questo caso ti prego di risparmiare il sarcasmo e riservare le tue energie a cercare di capire l'idea
magari sbagiata, che ti ho proposto (perdendo anche del tempo)
Ho capito che e' un esercizio sulle funzioni continue - volevo sapere in che corso lo hai trovato; saperlo mi puo' dare delle indicazioni sugli
strumenti che hai a disposizione per risolvere il problema (ce non e' banale) - se non avessi visto l'89 in fondo al nick avrei suggerito di applicare il grado topologico
che probabilmente e' lo strumento piu' idoneo ma che quasi certamente non conosci.
EDIT ho scritto insieme a F.P. la cui cattiveria, in questo momento , mi sembra piu' che appropriata.
1. La funzione è continua! Prova a calcolare i limiti destro e sinistro nei punti in cui si spezza e vedi cosa accade!
2. Non affermare cose che non sono vere! La funzione descritta da ViciusGoblin ha l'interessante caratteristica di sembrare una funzione cubica su ogni intervallo di lunghezza 4, somigliando ad una sorta di funzione a gradini in cui gli stessi sono diagonali. In questo modo ti assicuri che essa interseca sempre qualsiasi retta di equazione $y=c$ in esattamente 3 punti!
@ViciusGoblin: credo che l'esempio da te fatto sia il fulcro per dimostrare che non è possibile avere una funzione simile che abbia 2 radici, visto che, in tal caso, dovrebbe avere un andamento simile a quello di una parabola e la cosa, ovviamente, ti esclude che possa procedere a zig-zag come prima. Infine, a quel punto suppongo sia piuttosto facile generalizzare al fatto che quelle con $n$ dispari soddisfano alla condizione mentre non lo facciano quelle con $n$ pari.
2. Non affermare cose che non sono vere! La funzione descritta da ViciusGoblin ha l'interessante caratteristica di sembrare una funzione cubica su ogni intervallo di lunghezza 4, somigliando ad una sorta di funzione a gradini in cui gli stessi sono diagonali. In questo modo ti assicuri che essa interseca sempre qualsiasi retta di equazione $y=c$ in esattamente 3 punti!
@ViciusGoblin: credo che l'esempio da te fatto sia il fulcro per dimostrare che non è possibile avere una funzione simile che abbia 2 radici, visto che, in tal caso, dovrebbe avere un andamento simile a quello di una parabola e la cosa, ovviamente, ti esclude che possa procedere a zig-zag come prima. Infine, a quel punto suppongo sia piuttosto facile generalizzare al fatto che quelle con $n$ dispari soddisfano alla condizione mentre non lo facciano quelle con $n$ pari.
X Fioravante...
Ok che tu sia cattivo si sapeva
Ke io ti sia antipatico mi spiace (dato che tu non mi sei antipatico)
E poi è vero...a volte gli esercizi nascono da qualcosa...a volte no...
A volte un esercizio serve per fare un calcolo..a. volte è semplicemtente un esercizio...questo è il senso...
E poi non mi và di sta a motivare tutto...quindi...ti sono antipatico..pazienza...
Parlando di cose serie...
Un disegno avrebbe aiutato...
Però adesso ho capito come ViciousGoblin voleva costruire la funzione...bè in realtà bastava costruire un pezzo della funzione e il resto lo si può scrivere per periodicità...
Non avevo inteso la costruzione...avevo provato a disegnare il grafico ma ad esempio invece che porre $f(x)=x$ per $0<=x<=2$ l'avevo costruito come $f(x)=x$ per $x<=2$...mi son saltato gli estremi...
Ok che tu sia cattivo si sapeva
Ke io ti sia antipatico mi spiace (dato che tu non mi sei antipatico)
E poi è vero...a volte gli esercizi nascono da qualcosa...a volte no...
A volte un esercizio serve per fare un calcolo..a. volte è semplicemtente un esercizio...questo è il senso...
E poi non mi và di sta a motivare tutto...quindi...ti sono antipatico..pazienza...
Parlando di cose serie...
Un disegno avrebbe aiutato...
Però adesso ho capito come ViciousGoblin voleva costruire la funzione...bè in realtà bastava costruire un pezzo della funzione e il resto lo si può scrivere per periodicità...
Non avevo inteso la costruzione...avevo provato a disegnare il grafico ma ad esempio invece che porre $f(x)=x$ per $0<=x<=2$ l'avevo costruito come $f(x)=x$ per $x<=2$...mi son saltato gli estremi...
Vedo che la cosa è molto più grave di quello che pensavo.
Non sei capace di leggere e non sai chiedere scusa, neanche quando queste scuse sono stra-dovute.
Per rispetto nei confronti dell'utente ViciousGoblin chiudo questo thread.
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