Funzioni continue esercizio
Ho bisogno un aiuto a capire come svolgere questo esercizio:
C'è una funzione continua ƒ(x) tale che 0≤ƒ(x)≤1 per 0≤x≤4, ƒ' (1)>1000 and ƒ' (2)< -1000?
Grazie.
C'è una funzione continua ƒ(x) tale che 0≤ƒ(x)≤1 per 0≤x≤4, ƒ' (1)>1000 and ƒ' (2)< -1000?
Grazie.
Risposte
Idee tue?
Mmh letta così la "risposta secca" è sì, anzi ce ne sono infinite di funzioni così - basta definirle opportunamente...
Dovrei fornire una risposta e motivarla adeguatamente ma non so proprio come. Potreste farmi un esempio?
Ti lascio un hint invece: funzione definita a tratti 
Ok una funzione definita a tratti non è derivabile in tutti i suoi punti giusto?
Un idea mai sarebbe (in linguaggio naturale e credo non correttissima ma ci provo): una funzione continua è derivabile in ogni suo punto, quindi la funzione in questione potrebbe essere formata da una curva dove nell'intervallo tra 1 e 2 c'è un punto di massimo (o minimo).
"checchino":
[...] una funzione continua è derivabile in ogni suo punto [...]
Qual'è la derivata in \(\displaystyle 0 \) di \(\displaystyle f(x) = \lvert x\rvert \)?
"checchino":
Ok una funzione definita a tratti non è derivabile in tutti i suoi punti giusto?
Assolutamente no, può benissimo essere derivabile in tutto il dominio! Dipende appunto da come la si definisce.
"checchino":
Un idea mai sarebbe (in linguaggio naturale e credo non correttissima ma ci provo): una funzione continua è derivabile in ogni suo punto
Temo che tu abbia un po' di confusione in merito: la continuità non implica la derivabilità (è vero il contrario, ma solo per le funzioni a una variabile).
"checchino":
quindi la funzione in questione potrebbe essere formata da una curva dove nell'intervallo tra 1 e 2 c'è un punto di massimo (o minimo).
Ma no: massimi e minimi sono in corrispondenza di punti dove la derivata è nulla.
Rifletti: in quell'intervallo hai una certa funzione (che vogliamo supporre continua) da costruire di cui conosci il valore di due derivate.
Dato che $f'(1)=1000$, come si comporterà questa funzione nell'intorno di $x_0=1$?
E in quello di $x_1=2$?
Basandoti sulle risposte precedenti, si può ragionevolmente ipotizzare che non esistano imposizioni tali da impedire che la funzione sia continua? E che sia derivabile?
Quale potrebbe quindi essere una possibile funzione che soddisfi la consegna?
EDIT
@vict85: sempre insieme
Una funzione seno o coseno?
"checchino":
Una funzione seno o coseno?
La proposta di Brancaleone era più semplice, ma perdi la continuità ovunque, ma puoi usare la funzione seno (anche la funzione coseno ma è più complicato). Ma devi comporla con delle altre funzioni al fine di riuscire ad avere le proprietà volute.
Nell'intorno di X0 la funzione cresce mentre nell'intorno di X1 decresce, ma non mi viene in mente una funzione.
Scusa checchino, ma ti basta semplicemente rispondere alla domanda argomentando come (non?) esista una funzione del genere, oppure (ma da come è stata posta la domanda non sembra) devi effettivamente esplicitarne una?
Si non mi serve trovare una funzione potrei anche solo argomentare, ma come?
Con un disegno. Ricordati che la derivata è la pendenza del grafico.
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