Funzioni continue!!!
Salve community è da molto che non scrivo. Studio Ingegneria. Comunque dopo quasi 2 anni buttati all'aria all'università ho deciso di preparare l'esame di Analisi 1 (già un anno fa ho provato a darlo, ma dopo 6 mesi inutili di studio ho rinunciato). Comunque dato che per me imparare la teoria non mi è un problema mi sto destreggiando con gli esercizi d'esame usciti negli esami precedenti. Ora viene il problema Serie numeriche, Integrali, e Calcolo dei limiti non ho alcun problema, ma per le funzioni continue sto trovando dei grossi problemi ( gli stessi dell'anno scorso ovviamente). Comunque il tipo di esercizio è questo:
f(x) = (2-x-radice(|x-1|))/logx
a) Determinare il campo di esistenza (Qua non ci sono problemi devo farmi il dominio che dovrebbe essere [1,+oo) ).
b) Determinare f^(-1)(0,+oo) (Qua mi hanno detto che devo porre la funzione >0 e trovare le radici)
c) Studiare la continuità e la derivabilità di f(x). (Qua ho dedotto che devo calcolare la derivata e l'ho fatto, ma la continuità come me la calcolo'?? So soltanto che devo prendere l'1 del dominio e fare il limite per x->1, però del risultato che ne faccio?)
Aspetto risposte.
Ps: Scusate se non ho scritto in formule per bene, perché mi sono dimenticato come si fa appena capisco aggiusto. Intanto qualcuno potrebbe aiutarmi se ha capito?
f(x) = (2-x-radice(|x-1|))/logx
a) Determinare il campo di esistenza (Qua non ci sono problemi devo farmi il dominio che dovrebbe essere [1,+oo) ).
b) Determinare f^(-1)(0,+oo) (Qua mi hanno detto che devo porre la funzione >0 e trovare le radici)
c) Studiare la continuità e la derivabilità di f(x). (Qua ho dedotto che devo calcolare la derivata e l'ho fatto, ma la continuità come me la calcolo'?? So soltanto che devo prendere l'1 del dominio e fare il limite per x->1, però del risultato che ne faccio?)
Aspetto risposte.
Ps: Scusate se non ho scritto in formule per bene, perché mi sono dimenticato come si fa appena capisco aggiusto. Intanto qualcuno potrebbe aiutarmi se ha capito?
Risposte
Ciao, bentornato.
Nel seguito supporrò che la funzione sia questa:
\[f(x)=\dfrac{2-x-\sqrt{|x-1|}}{\ln x}\]
A) No. Ricontrolla.
B) Cos'è $f^{-1}(0,+\infty)$??? l'inversa su $(0,+\infty)$?
C) La funzione è elementare (o meglio, è ottenuta sommando, moltiplicando e componendo funzioni elementari, eccetto il valore assoluto che però, in questa situazione, non fa testo), quindi continua nel suo dominio. Considerazioni simili si possono fare per la derivabilità (attenzione solo a quel valore assoluto*).
EDIT: *no bugia
la funzione in $1$ non è definita, per cui...
Nel seguito supporrò che la funzione sia questa:
\[f(x)=\dfrac{2-x-\sqrt{|x-1|}}{\ln x}\]
A) No. Ricontrolla.
B) Cos'è $f^{-1}(0,+\infty)$??? l'inversa su $(0,+\infty)$?
C) La funzione è elementare (o meglio, è ottenuta sommando, moltiplicando e componendo funzioni elementari, eccetto il valore assoluto che però, in questa situazione, non fa testo), quindi continua nel suo dominio. Considerazioni simili si possono fare per la derivabilità (attenzione solo a quel valore assoluto*).
EDIT: *no bugia
la funzione in $1$ non è definita, per cui...
Grazie della tua risposta la funzione è proprio quella.
a) Mmm... allora: Prendo x-1 che sta sotto radice e lo pongo >= 0 quindi viene x>=1, poi prendo logx!=0 quindi x!=1. Ah forse intendi che il dominio è (1,+oo).
b) Si è proprio quella, scusa se non so spiegarti per bene ma non l'ho capito nemmeno io mi hanno solo detto di porre la funzione >0. La cosa strana è che sul mio libro non trovo niente a tal proposito.
c) Non ho capito che intendi la prima cosa che hai scritto e l'edit potresti scrivere meglio?
PS: Con "!=" intendo "diverso".
a) Mmm... allora: Prendo x-1 che sta sotto radice e lo pongo >= 0 quindi viene x>=1, poi prendo logx!=0 quindi x!=1. Ah forse intendi che il dominio è (1,+oo).
b) Si è proprio quella, scusa se non so spiegarti per bene ma non l'ho capito nemmeno io mi hanno solo detto di porre la funzione >0. La cosa strana è che sul mio libro non trovo niente a tal proposito.
c) Non ho capito che intendi la prima cosa che hai scritto e l'edit potresti scrivere meglio?
PS: Con "!=" intendo "diverso".
A) Di nuovo no. Il logaritmo è definito per $x$ positivo (quindi, zero escluso); inoltre, poichè il log non deve annullarsi, dev'essere $x \ne 1$. Sotto il segno di radice, invece, c'è una quantità non negativa (il valore assoluto), che al più vale zero se $x=1$, quindi non c'è bisogno di dire nulla. Pertanto il dominio è....
B) Mmm...la funzione non è invertibile, in quanto non è iniettiva.
mah, sono fuorvianti 'ste domande però! Dovrebbero chiedere "determinare, SE ESISTE, $f^{-1}$...", altrimenti lo studente va convinto, e pensa di sbagliare quando s'accorge che l'inversa non esiste. (Suppongo tu sappia cos'è una funzione iniettiva).
C) Vuoi determinare l'insieme in cui $f$ è continua, no? Bene. Poichè $f$ è ottenuta sommando, moltiplicando e componendo funzioni elementari (per un noto teorema, tutte le funzioni elementari sono continue nel loro insieme di definizione), allora la tua funzione è continua nel suo insieme di definizione. Inoltre, non so se è utile, la puoi prolungare con continuità in $0$ (la funzione in $0$ non è definita, però il limite per $x\to 0$ è finito, e quindi...vedi la definizione di prolungamento continuo di una funzione - o funzione prolungabile per continuità). Per la derivabilità, vale più o meno lo stesso discorso (sostituisci la parola "elementari" con "derivabili" nel discorso che ti ho fatto prima ). Quindi?
Dai su, non posso fare tutto io ho già dato a mio tempo
B) Mmm...la funzione non è invertibile, in quanto non è iniettiva.
mah, sono fuorvianti 'ste domande però! Dovrebbero chiedere "determinare, SE ESISTE, $f^{-1}$...", altrimenti lo studente va convinto, e pensa di sbagliare quando s'accorge che l'inversa non esiste. (Suppongo tu sappia cos'è una funzione iniettiva).C) Vuoi determinare l'insieme in cui $f$ è continua, no? Bene. Poichè $f$ è ottenuta sommando, moltiplicando e componendo funzioni elementari (per un noto teorema, tutte le funzioni elementari sono continue nel loro insieme di definizione), allora la tua funzione è continua nel suo insieme di definizione. Inoltre, non so se è utile, la puoi prolungare con continuità in $0$ (la funzione in $0$ non è definita, però il limite per $x\to 0$ è finito, e quindi...vedi la definizione di prolungamento continuo di una funzione - o funzione prolungabile per continuità). Per la derivabilità, vale più o meno lo stesso discorso (sostituisci la parola "elementari" con "derivabili" nel discorso che ti ho fatto prima
). Quindi? Dai su, non posso fare tutto io
ho già dato a mio tempo
a) Allora per quanto riguarda le considerazioni sul logaritmo sono d'accordo. Non capisco bene una cosa, allora dato che x-1 è in valore assoluto sicuramente, come dici anche tu, è un valore positivo. Ora, perché non c'è bisogno di dire nulla? Puoi spiegarmi meglio questa cosa, perché a quanto ne so bisogna prendere tutto ciò che sta sotto radice e porla >=0.
b) Si so cos'è una funzione iniettiva. Praticamente una funzione è iniettiva quando ogni elemento y dell'insieme di arrivo è immagine di al massimo un elemento x dell'insieme di partenza, data una funzione y = f(x). Quello che non so è come fare a vedere che non è iniettiva.
c)Allora quindi mi stai dicendo che dato che la mia funzione è un insieme di funzioni elementari è continua nel suo insieme di definizione. Giusto? Poi a che mi serve sapere, ai fini dell'esercizio, che è prolungabile con continuità 0?
PS: Scusa se ti sto riempendo di domande anche stupide, ma questo per me è un argomento "tabù" e voglio capire perfettamente.
b) Si so cos'è una funzione iniettiva. Praticamente una funzione è iniettiva quando ogni elemento y dell'insieme di arrivo è immagine di al massimo un elemento x dell'insieme di partenza, data una funzione y = f(x). Quello che non so è come fare a vedere che non è iniettiva.
c)Allora quindi mi stai dicendo che dato che la mia funzione è un insieme di funzioni elementari è continua nel suo insieme di definizione. Giusto? Poi a che mi serve sapere, ai fini dell'esercizio, che è prolungabile con continuità 0?
PS: Scusa se ti sto riempendo di domande anche stupide, ma questo per me è un argomento "tabù" e voglio capire perfettamente.
A) Perfetto! Ricapitolando:
• $x>0$ per l'esistenza del logaritmo;
• $x\ne 1$ poichè non deve annullarsi il denominatore (essendo $\log 1= 0$);
• $|x-1|\ge 0$ per l'esistenza della radice. Ma questo fatto è verificato $\forall x$! Qualsiasi numero tu sostituisca in $|x-1|$ ottieni sempre una quantità $>0$, o al massimo ottieni zero se scegli $x=1$. Ok ora?
B) Bene anche qui. Per verificare che una funzione non è iniettiva, devi trovare almeno due punti $x_1,x_2$ che abbiano la stessa immagine, ovvero tali che $f(x_1)=f(x_2)$. A volte questa cosa non è così semplice (e mi pare che in questo caso non lo sia); spesso si risolve osservando che, essendo la funzione in questione continua in un intervallo*, ma non strettamente monotòna (cosa che si appura tramite lo studio della derivata), allora sicuramente esistono dei siffatti $x_1,x_2$ (intuitivamente, una linea continua che non va sempre verso l'alto o verso il basso, ripassa per la stessa quota $y$ almeno una volta; un disegnino ti dovrebbe chiarire le idee, se chiare non sono).
Oltre a questo, ci sono anche altri modi...a seconda del caso, con l'esperienza, capisci da solo come fare, senza conoscere "metodi già pronti".
C) Ok (salvo la terminologia, la tua funzione non è un insieme di funzioni, matematicamente parlando; rivedi quello che ho scritto sopra). Il fatto della prolungabilità era quasi un "ornamento"
La traccia è molto generica, per cui non so se chi l'ha scritta richiede anche questo o no; sarei più portato a pensare che non sia richiesto però. Al di là della traccia, secondo me un ripasso anche di questo argomento non ti fa male 
PS: Non preoccuparti. Unica cosa: impara a scrivere le formule, sia perchè altrimenti è difficile leggerti, sia per evitare ragionevoli richiami dei moderatori.
_________________________________________
*questa cosa è fondamentale. Non vale per sottoinsiemi di $RR$ generici.
• $x>0$ per l'esistenza del logaritmo;
• $x\ne 1$ poichè non deve annullarsi il denominatore (essendo $\log 1= 0$);
• $|x-1|\ge 0$ per l'esistenza della radice. Ma questo fatto è verificato $\forall x$! Qualsiasi numero tu sostituisca in $|x-1|$ ottieni sempre una quantità $>0$, o al massimo ottieni zero se scegli $x=1$. Ok ora?
B) Bene anche qui. Per verificare che una funzione non è iniettiva, devi trovare almeno due punti $x_1,x_2$ che abbiano la stessa immagine, ovvero tali che $f(x_1)=f(x_2)$. A volte questa cosa non è così semplice (e mi pare che in questo caso non lo sia); spesso si risolve osservando che, essendo la funzione in questione continua in un intervallo*, ma non strettamente monotòna (cosa che si appura tramite lo studio della derivata), allora sicuramente esistono dei siffatti $x_1,x_2$ (intuitivamente, una linea continua che non va sempre verso l'alto o verso il basso, ripassa per la stessa quota $y$ almeno una volta; un disegnino ti dovrebbe chiarire le idee, se chiare non sono).
Oltre a questo, ci sono anche altri modi...a seconda del caso, con l'esperienza, capisci da solo come fare, senza conoscere "metodi già pronti".
C) Ok (salvo la terminologia, la tua funzione non è un insieme di funzioni, matematicamente parlando; rivedi quello che ho scritto sopra). Il fatto della prolungabilità era quasi un "ornamento"
La traccia è molto generica, per cui non so se chi l'ha scritta richiede anche questo o no; sarei più portato a pensare che non sia richiesto però. Al di là della traccia, secondo me un ripasso anche di questo argomento non ti fa male PS: Non preoccuparti. Unica cosa: impara a scrivere le formule, sia perchè altrimenti è difficile leggerti, sia per evitare ragionevoli richiami dei moderatori.
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*questa cosa è fondamentale. Non vale per sottoinsiemi di $RR$ generici.
a) Ok per le prime due sono d'accordo. Adesso ho capito anche il motivo del perché è \(∀x!\), dato che essendo \(x-1\) racchiuso in valore assoluto esce sempre un valore positivo. Quindi, mi viene da dire che il dominio dovrebbe essere \( (0,+∞)-[1] \).
b) Quindi devo fare anche lo studio della derivata prima? Ah bene. La cosa che mi sta facendo paura è che varia caso per caso.
Di conseguenza mi stai dicendo che non c'è un modo generale. Ottimo!!!
Facciamo una cosa, potresti dirmi gli argomenti precisi che devo studiare per risolvere questi ultimi due punti!! Se per te è possibile?
b) Quindi devo fare anche lo studio della derivata prima? Ah bene. La cosa che mi sta facendo paura è che varia caso per caso.
Di conseguenza mi stai dicendo che non c'è un modo generale. Ottimo!!!
Facciamo una cosa, potresti dirmi gli argomenti precisi che devo studiare per risolvere questi ultimi due punti!! Se per te è possibile?
A) Finalmente
(B) e (C) intendi? Beh, così su due piedi, ti direi
• B: funzioni iniettive, funzioni invertibili, funzione inversa (non solo le definizioni, dai un'occhiata all'argomento in generale);
• C: vabè, funzioni continue, funzioni derivabili, con realtivi teoremi. (Anche qui, per "funzioni continue" ad esempio, intendo tutto ciò che riguarda la continuità; stessa cosa per la derivabilità)
Coraggio ché Analisi 1 è bella
(B) e (C) intendi? Beh, così su due piedi, ti direi
• B: funzioni iniettive, funzioni invertibili, funzione inversa (non solo le definizioni, dai un'occhiata all'argomento in generale);
• C: vabè, funzioni continue, funzioni derivabili, con realtivi teoremi. (Anche qui, per "funzioni continue" ad esempio, intendo tutto ciò che riguarda la continuità; stessa cosa per la derivabilità)
Coraggio
ché Analisi 1 è bella
Hai ragione è bella, però porta molte difficoltà.
E' difficile abituarsi, più che altro, prendere la mano (se non sbaglio, lo diceva Von Neumann, che alla Matematica ci si abitua).
Allora mi sto studiando il tutto, ma mi sorge anche una domanda in termini pratici che vuol dire quel \( f^{-1} (0,+∞)\) ?
Cioè \( f^{-1}\) è la funzione inversa ma il \((0,+∞)\) vicino ad esso che vuol dire?
Cioè \( f^{-1}\) è la funzione inversa ma il \((0,+∞)\) vicino ad esso che vuol dire?
E' l'intervallo** sul quale si sta invertendo la funzione, ed è importante specificarlo. Per esempio, la funzione $f:RR\to RR$, $f(x)=\sin x$, non è invertibile (penso sia evidente...). Se, invece, si definisce una nuova funzione* $f_\star (x)=\sin x$ che, anzichè $RR$, abbia come dominio $[-\pi/2,\pi/2]$, allora si ha che questa funzione è invertibile, e la sua inversa è $f^{-1}_\star(x)=\arcsin x$.
__________________________
*ti rammento che due funzioni con la stessa espressione analitica, ma con codominio e/o dominio diversi, sono due funzioni diverse.
**può essere anche un generico sottoinsieme di $RR$.
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*ti rammento che due funzioni con la stessa espressione analitica, ma con codominio e/o dominio diversi, sono due funzioni diverse.
**può essere anche un generico sottoinsieme di $RR$.
Aspetta un attimo mi hai totalmente sconvolto la mia concezione di dominio. Mi stai dicendo che due funzioni analiticamente uguali hanno due domini differenti. Ora la mia domanda è come è possibile? Fino a 5 minuti fa ero convinto che il dominio di per esempio: \( f(x)=x^2+2x+2 \) è \(D: R\). Quindi potrebbe anche essere che non lo sia? E a questo punto come me ne accorgo?
PS: L'ho appena trovato anche nel libro, ma non ne capisco il senso, cioè la logica.
PS: L'ho appena trovato anche nel libro, ma non ne capisco il senso, cioè la logica.
Ahahah è la reazione che hanno tutti quando lo scoprono 
ed è una faticaccia fargli cambiare le proprie idee ogni volta!
Quando si definisce una funzione, oltre a definire la sua espressione analitica, si definiscono dominio e codominio. La scelta del dominio è limitata; ogni funzione $f(x)$ (parliamo di quelle reali di variabile reale, per ora) ha un determinato campo d'esistenza $C$: il dominio $D$ che si può attribuire ad $f$ dev'essere contenuto in questo campo d'esistenza ($D\subseteq C$). Si potrebbe dire, per fissare le idee, che $C$ è il più "grande" sottoinsieme di $RR$ che $f$ può avere come dominio.
La logica? A volte, in una definizione, c'è poco di logico; una definizione è una definizione, non un teorema. Tuttavia, qui la logica la si può trovare Supponiamo di voler "creare" una funzione che ci dica, dato un segmento di lunghezza $x$, qual'è il valore dell'area del quadrato che si può costruire a partire da questo segmento. Bene, come sappiamo, per un quadrato,
\[\text{area}=[\text{lato}]^2\]
no? Quindi, se $x$ è la misura del lato, avremo che l'area $a$ misura $x^2$. Dunque definiamo la funzione come $a(x)=x^2$; per definire come si deve questa funzione, dobbiamo attribuirle un dominio e un codominio. Come codominio prendiamo, senza filosofare troppo, l'insieme $RR$; il possibile dominio $D$, sarà contenuto nel campo d'esistenza $C$ della funzione $a(x)$, ossia $RR$ (che è quello che tu chiami dominio). Però, che senso avrebbe dire che un segmento ha lunghezza negativa? In virtù di questo fatto, attribuiamo alla nostra funzione il dominio $D=\{ x\in RR : x\ge 0\}$.
Chiaro ora?
Nota che spesso i due concetti, dominio e campo d'esistenza, vengono confusi, nel senso che si parla di uno riferendosi all'altro (quasi si provi piacere a confondere uno studente inesperto).
ed è una faticaccia fargli cambiare le proprie idee ogni volta!Quando si definisce una funzione, oltre a definire la sua espressione analitica, si definiscono dominio e codominio. La scelta del dominio è limitata; ogni funzione $f(x)$ (parliamo di quelle reali di variabile reale, per ora) ha un determinato campo d'esistenza $C$: il dominio $D$ che si può attribuire ad $f$ dev'essere contenuto in questo campo d'esistenza ($D\subseteq C$). Si potrebbe dire, per fissare le idee, che $C$ è il più "grande" sottoinsieme di $RR$ che $f$ può avere come dominio.
La logica? A volte, in una definizione, c'è poco di logico; una definizione è una definizione, non un teorema. Tuttavia, qui la logica la si può trovare
Supponiamo di voler "creare" una funzione che ci dica, dato un segmento di lunghezza $x$, qual'è il valore dell'area del quadrato che si può costruire a partire da questo segmento. Bene, come sappiamo, per un quadrato, \[\text{area}=[\text{lato}]^2\]
no? Quindi, se $x$ è la misura del lato, avremo che l'area $a$ misura $x^2$. Dunque definiamo la funzione come $a(x)=x^2$; per definire come si deve questa funzione, dobbiamo attribuirle un dominio e un codominio. Come codominio prendiamo, senza filosofare troppo, l'insieme $RR$; il possibile dominio $D$, sarà contenuto nel campo d'esistenza $C$ della funzione $a(x)$, ossia $RR$ (che è quello che tu chiami dominio). Però, che senso avrebbe dire che un segmento ha lunghezza negativa? In virtù di questo fatto, attribuiamo alla nostra funzione il dominio $D=\{ x\in RR : x\ge 0\}$.
Chiaro ora?
Nota che spesso i due concetti, dominio e campo d'esistenza, vengono confusi, nel senso che si parla di uno riferendosi all'altro (quasi si provi piacere a confondere uno studente inesperto).
Ho capito ciò che dici,ma mi risulta ancora un po' strana l'idea. Quindi in pratica il punto b) mi chiede di determinare prima l'esistenza della funzione inversa nell'intervallo \((0,+∞)\) e poi calcolarla giusto?
Un'altra cosa nei post precedenti mi hai detto che per vedere se f(x) è invertibile devo studiare la derivata prima. L'ho fatta la derivata e cioè: \( \frac{\sqrt{|x-1|}(xlogx-2(x-1)))}{2x(x-1)log^2(x))}-\frac{1}{logx}+\frac{x-2}{xlog^2(x)} \). Ora dovrei fare la derivata e porla \(>=0\). Però la vedo un tantino complessa. Lol.
Un'altra cosa nei post precedenti mi hai detto che per vedere se f(x) è invertibile devo studiare la derivata prima. L'ho fatta la derivata e cioè: \( \frac{\sqrt{|x-1|}(xlogx-2(x-1)))}{2x(x-1)log^2(x))}-\frac{1}{logx}+\frac{x-2}{xlog^2(x)} \). Ora dovrei fare la derivata e porla \(>=0\). Però la vedo un tantino complessa. Lol.
"Dai":
Ho capito ciò che dici,ma mi risulta ancora un po' strana l'idea.
Piano piano ti sarà chiaro...Hai già studiato Informatica?
Un'altra cosa nei post precedenti mi hai detto che per vedere se f(x) è invertibile devo studiare la derivata prima. L'ho fatta la derivata e cioè: \( \frac{\sqrt{|x-1|}(xlogx-2(x-1)))}{2x(x-1)log^2(x))}-\frac{1}{logx}+\frac{x-2}{xlog^2(x)} \). Ora dovrei fare la derivata e porla \(>=0\). Però la vedo un tantino complessa. Lol.
No. Ti ho detto che si può fare ANCHE così, se ci si accorge che è il modo più opportuno. Dimostrando (tramite lo studio della derivata) che la funzione è strettamente monotona nel suo dominio, dimostri che è ingettiva, quindi invertibile (ovviamente, questo non ti permette di calcolare la funzione inversa, cosa che molte volte non è possibile).
In questo caso, invece, io avrei cercato di mostrare l'esistenza di due punti $x_1,x_2$ aventi la stessa immagine...prova!
EDIT: ah, mi pare che nella derivata ci sia qualcosa che non va, ma non chiedermi di calcolarla, ti prego!
Sono diplomato in Informatica con 100 e lavoro come programmatore da 1 anno. Quindi si già ho studiato Informatica.
Comunque a parte la derivata, per quando dici di mostrare l'esistenza di due punti x1, x2 intendi di vedere se la funzione è crescente o decrescente?
Comunque a parte la derivata, per quando dici di mostrare l'esistenza di due punti x1, x2 intendi di vedere se la funzione è crescente o decrescente?
e allora dovrebbe naturale per te questa distinzione tra dominio e campo d'esistenza! Scusa, se pensi al momento in cui scrivi un semplice programmino in C (penso che tu conosca il C 1000 volte meglio di me, forse pure di più ), non ti viene in mente una situazione del genere?Tornando alla funzione, no. Intendo che devi trovare un modo per provare che esistono due punti $x_1,x_2$ (non necessariamente devi trovarli, nel senso che non è detto che tu possa sapere quali sono questi punti) tali che $f(x_1)=f(x_2)$, il che prova che la tua funzione non è iniettiva, quindi non invertibile.
Si, pensando in maniera informatica, riesco a immaginarmela. Lol. Non mi dire nulla ma faccio una completa distinzione tra Informatica e Matematica. Il motivo è semplice mentre nella prima si basa, almeno per me, tutto sulla logica, nella seconda tutta questa logica non c'è la trovo, anzi molte volte tra teoremi e definizioni, non ne capisco proprio il senso.
Sto ancora cercando un modo per provare l'esistenza dei punti x1, x2.
Sto ancora cercando un modo per provare l'esistenza dei punti x1, x2.
"Dai":
Si, pensando in maniera informatica, riesco a immaginarmela. Lol. Non mi dire nulla ma faccio una completa distinzione tra Informatica e Matematica. Il motivo è semplice mentre nella prima si basa, almeno per me, tutto sulla logica, nella seconda tutta questa logica non c'è la trovo, anzi molte volte tra teoremi e definizioni, non ne capisco proprio il senso.
Sei proprio un Informatico allora
senza offesa eh...che studi? Ingegneria dell'Automazione/Informatica?Facciamo così, io ti do gli "ingredienti" e tu vedi cosa fare (cerca di essere "creativo"). Per come ho pensato di procedere io, ti servono un paio di limiti (in particolari punti del dominio) e il Teorema dei valori intermedi (o di Bolzano).
"Dai":
Allora mi sto studiando il tutto, ma mi sorge anche una domanda in termini pratici che vuol dire quel $f^-1(0, \+infty)$?
Cioè $f^-1$ è la funzione inversa ma il $(0,\+infty)$ vicino ad esso che vuol dire?
Anch'io quando ho fatto Analisi 1 ho trovato la positività della funzione espressa così, credo che con $f^-1$ faccia riferimento alla controimmagine di $f$, in particolare $f^-1(0,\+infty)$ individua quel sottinsieme del dominio(per definizione di controimmagine) tale che la sua immagine tramite $f$ individua valori positivi del codominio(per questo $(0,+\infty)$).
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