Funzioni continue.

[JackPirri]

Ciao a tutti, volevo chiedervi una cosa sulle funzioni continue.

In particolare sulla toeria che riguarda una funzione continua in punto.

Una funzione è continua in un punto di accumulazione c per il suo dominio se ,comunque scelto un numero positivo arbitrariamente piccolo è possibile determinare in sua corrispondenza un intorno del punto c per tutti i punti del quale compreso c vale che $|f(x) -f(c)| <$ del numero positivo che abbiamo scelto prima.

Esiste un intorno del punto c che contiene (oltre ad infiniti elementi del dominio) tutti gli elementi del dominio? Cioè ,nel caso in cui $ I C R$, un intorno del genere (I-1;I+1)?


Mi verrebbe da dire no perchè un intorno è comunque un intervallo molto piccolo che non può contenere quindi l'intero dominio della funzione,però non ne sono sicuro.

Grazie.

[Papercut]

Sia f (x) una funzione continua nell'intervallo A (in R) allora $ AAepsilon>0 ,EEdelta=delta (x_0,epsilon)>0:, x in A , |x-x_0||f (x)-f (x_0)|0, perchè in generale il delta dipende sia da epsilon che da x0, ovviamente x deve rientrare nell'intervallo A.

[JackPirri]

Ciao Papercut,grazie mille.Allora un intorno di x0 che contiene tutti i punti del dominio esiste(a patto pero che I C R).Giusto?

[Papercut]

Beh, direi che questo rientra più nella definizione di punto di accumulazione per I che di continuità.
La definizione di punto di accumulazione dice: $ X_0inR $ è di accumulazione per I se $ AAdelta>0, EEx inI:|x-x_0| Le mie sono ipotesi, per essere sicuro attendi la risposta di qualcuno più ferrato.

[JackPirri]

Avevo pensato alle stesse cose.Sì, ovviamente consideriamo c soltanto come un punto di accumulazione per il dominio della funzione, tralasciando la continuità della funzione in c.


Non ho capito solo perchè hai scritto che non bisogna sforare l'intervallo I.Io so che un punto di accumulazione per un insieme numerico generale (in questo caso l'intervallo I) può contenere anche punti estranei all'insieme (oltre a contenere infiniti punti dell'insieme stesso).

[Papercut]

Si ovvio, ma ci siamo imposti di trovare un punto di accumulazione con il quale è possibile costruire un intorno equivalente all'insieme di definizione.
Ovviamente nell'ipotesi generale puoi sforare, basta però che almeno un punto diverso da x0 cada in quell'intorno, un esempio sono proprio gli estremi di un intervallo aperto e limitato.

[JackPirri]

Sì è vero.Grazie mille Papercut per la disponibilità.

[Luca.Lussardi]

Attenzione che la definizione data di punto di accumulazione e' sbagliata: in realta' e' stata data la definizione di punto aderente. Un punto $x_0\in\mathbb R$ e' di accumulazione per $I\subseteq \mathbb R$ se ogni intorno di $x_0$ contiene almeno un punto di $I$ diverso da $x_0$.

[Papercut]

"Luca.Lussardi":Attenzione che la definizione data di punto di accumulazione e' sbagliata: in realta' e' stata data la definizione di punto aderente. Un punto $x_0\in\mathbb R$ e' di accumulazione per $I\subseteq \mathbb R$ se ogni intorno di $x_0$ contiene almeno un punto di $I$ diverso da $x_0$.

Ciao Luca, sbaglio o tale condizione è rispettata proprio dall'arbitrarietà del nostro delta? Infatti si suppone che quella condizione valga per ogni delta, ed ogni intorno costruito con ampiezza delta deve contenere almeno un punto diverso da x0 ma appartente ad I.

P.S: In effetti per essere più preciso avrei dovuto scrivere: $ ...:0!=|x-x_0|

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[Luca.Lussardi]

Esatto, devi mettere quel diverso da zero altrimenti la condizione potrebbe essere verificata dal solo $x=x_0$.