Funzioni a due variabili
Ciao a tutti,
Avrei bisogno di un chiarimento sullo studio di funzioni a due variabili... Per trovare la continuità di classe C^1 bisogna fare il \( \lim_{k\rightarrow 0} (f_x(x_0+k,y_0)-f_x(x_0,y_0))/(k) \) oppure bisogna riportare tutto in coordinate polari in modo tale che \( x=x_0+\rho cos\vartheta \) e \( y=y_0+\rho sin\vartheta \) e trovare il limite di \( \lim_{\rho \rightarrow 0} f_x \) e deve essere finito come il limite di \( \lim_{\rho \rightarrow 0} f_y \). Sareste così gentili da spiegarmi il motivo oppure lasciarmi un link che tratti questo argomento
Avrei bisogno di un chiarimento sullo studio di funzioni a due variabili... Per trovare la continuità di classe C^1 bisogna fare il \( \lim_{k\rightarrow 0} (f_x(x_0+k,y_0)-f_x(x_0,y_0))/(k) \) oppure bisogna riportare tutto in coordinate polari in modo tale che \( x=x_0+\rho cos\vartheta \) e \( y=y_0+\rho sin\vartheta \) e trovare il limite di \( \lim_{\rho \rightarrow 0} f_x \) e deve essere finito come il limite di \( \lim_{\rho \rightarrow 0} f_y \). Sareste così gentili da spiegarmi il motivo oppure lasciarmi un link che tratti questo argomento
Risposte
Cosa intendi con continuità di classe $C^1$? Le funzioni sono dette di classe $C^k$ quando sono derivabili con continuità $k$ volte.
Se vuoi mostrare che una funzione è di classe $C^1$ trova l'espressione delle derivate parziali, usa la definizione per trovare il valore che assumono nei punti problematici e mostra che sono continue risolvendo il limite. Il passaggio alle coordinate polari è spesso utile ma non sempre necessario.
Cercando ho trovato subito questo esercizio svolto:
http://www.****.it/forum/analisi-2n/35330-mostrare-che-una-funzione-e-di-classe-c1-in-r2.html.
Spero sia quello che intendessi perché francamente la tua domanda non è molto chiara.
Se vuoi mostrare che una funzione è di classe $C^1$ trova l'espressione delle derivate parziali, usa la definizione per trovare il valore che assumono nei punti problematici e mostra che sono continue risolvendo il limite. Il passaggio alle coordinate polari è spesso utile ma non sempre necessario.
Cercando ho trovato subito questo esercizio svolto:
http://www.****.it/forum/analisi-2n/35330-mostrare-che-una-funzione-e-di-classe-c1-in-r2.html.
Spero sia quello che intendessi perché francamente la tua domanda non è molto chiara.
Sì per continuità di classe C^1 intendevo quello che hai inteso anche tu.
In sostanza voglio sapere quando è necessario passare alle coordinate polari per lo studio della classe C^1? Inoltre quando effettuo i 2 limiti in coordinate polari il risultato deve essere uguale a zero in entrambi i limiti oppure basta che sia un numero finito per affermare che la funzione è di classe C^1?
In sostanza voglio sapere quando è necessario passare alle coordinate polari per lo studio della classe C^1? Inoltre quando effettuo i 2 limiti in coordinate polari il risultato deve essere uguale a zero in entrambi i limiti oppure basta che sia un numero finito per affermare che la funzione è di classe C^1?
"ale.vh":
In sostanza voglio sapere quando è necessario passare alle coordinate polari per lo studio della classe C^1?
Come per i limiti in una variabile, non c'è una tecnica che funziona sempre. Tutto dipende dai casi: passare alle coordinate polari è utile in molte situazioni ma non sempre è necessario. Solitamente si fa per semplificarsi la vita con le maggiorazioni.
"ale.vh":
Inoltre quando effettuo i 2 limiti in coordinate polari il risultato deve essere uguale a zero in entrambi i limiti oppure basta che sia un numero finito per affermare che la funzione è di classe C^1?
Non deve essere per forza $0$. Dipende dal valore che assumono le derivate parziali in quel punto. Se è $2456$, allora il limite deve dare quel valore (ovviamente, deve sempre essere finito).
Ok grazie mille 
Prego
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo