Funzioni...
Si consideri $f : R -> R$ definita come segue:
$f(x) = {(x^2, x < 3),(8/x, x >= 3):}$
Si rappresenti il grafico di $f$ e si ricavino il $"max"f, "min"f , "inf" f , "sup" f$.
Allora, io ho trovato che per $y= x^2$ vale $( - oo, 3)$ mentre per $y= 8/x$ vale $[3 , + oo)$
ho disegnato il grafico, mettendo dei valori per la prima minori di 3 (come 2, 1, ...) e per la seconda valori pari e maggiori di 3 (3, 4, 8, ...)
Il problema è che non so leggere il grafico..
come capisco se ci sono e quali sono il $"max" f , "min" f , "inf" f$ e $"sup" f$?
Altra domanda.. il $"max" f$ e $"min" f$... è il valore che assume la funzione nel punto di massimo e minimo?
$f(x) = {(x^2, x < 3),(8/x, x >= 3):}$
Si rappresenti il grafico di $f$ e si ricavino il $"max"f, "min"f , "inf" f , "sup" f$.
Allora, io ho trovato che per $y= x^2$ vale $( - oo, 3)$ mentre per $y= 8/x$ vale $[3 , + oo)$
ho disegnato il grafico, mettendo dei valori per la prima minori di 3 (come 2, 1, ...) e per la seconda valori pari e maggiori di 3 (3, 4, 8, ...)
Il problema è che non so leggere il grafico..
come capisco se ci sono e quali sono il $"max" f , "min" f , "inf" f$ e $"sup" f$?
Altra domanda.. il $"max" f$ e $"min" f$... è il valore che assume la funzione nel punto di massimo e minimo?
Risposte
Intanto disegniamolo questo grafico:
[asvg]xmin=-5; xmax=9; ymin=0; ymax=12; axes("label"); stroke="lightgray"; line([3, 0], [3, 9]); stroke="black"; xmin=-6; xmax=3; plot("x^2"); circle([3, 9], 0.1); xmin=3; xmax=10; plot("8/x");fill="black"; circle([3, 8/3], 0.1);[/asvg]Vediamo come leggerlo. I due pallini, pieno e vuoto, ci informano del fatto che in prossimità della discontinuità il valore assunto è quello del pallino pieno. A sinistra si vede che stiamo assumendo valori sempre più grandi, e si capisce che, a patto di allontanarci abbastanza dallo zero, possiamo assumere valori grandi a volontà. In termini matematici $lim_{x \to -\infty} f(x)=+infty$.
A destra invece, la situazione è opposta, i valori sono sempre più piccoli. Anche qui, a patto di allontanarci abbastanza dallo zero questi valori possono essere piccoli a volontà. In termini matematici $lim_{x \to +\infty}f(x)=0$.
Ora calcoliamo $"inf"$ e $"sup"$ di $f$. Si tratta dell'estremo superiore e inferiore dei valori assunti dalla funzione $f$. Ricordiamo prima di tutto cos'è l'estremo superiore di un insieme di valori: si tratta del più piccolo dei numeri reali più grandi dell'insieme di valori assegnato (il minimo dei maggioranti in linguaggio matematico). Ad esempio l'estremo superiore di $[0, 1[$ è $1$: infatti ogni numero contenuto in $[0, 1[$ è per definizione più piccolo di $1$, e se un numero reale è più grande di tutti i numeri contenuti in $[0, 1[$, allora è maggiore oppure uguale ad $1$. Qualora l'insieme dei valori non sia limitato superiormente, ovvero contenga valori arbitrariamente grandi, si dice che l'estremo superiore è infinito ($+infty$). In modo analogo si definisce l'estremo inferiore, il più grande dei numeri reali più piccoli dei valori assegnati (massimo dei minoranti).
Nel nostro caso, abbiamo visto che il grafico raggiunge posizioni arbitrariamente alte, ovvero che la nostra funzione può assumere valori arbitrariamente grandi. Questo significa che $"sup"f=+infty$. Invece, in nessun punto la funzione può essere più piccola di $0$: quindi $0$ è un minorante. Non solo, ma $0$ è anche un valore raggiunto dalla funzione: infatti $f(0)=0$. Questo significa che $0$ è il minimo di $f$. Il minimo è automaticamente anche l'estremo inferiore: se un numero reale è più piccolo di tutti i valori assunti da $f$, allora questo numero deve essere più piccolo di $0$ per forza; quindi $0$ è il massimo dei minoranti, ovvero l'estremo inferiore. E, per venire alla tua domanda, questo minimo è assunto per $x=0$: si dice allora che $0$ è un punto di minimo per la funzione $f$, un punto in cui la funzione raggiunge il valore minimo.
Concludiamo riassumendo il risultato: $"inf"f=0, "min"f=0, "sup"f=+infty$, mentre non esiste $"max"f$.
Spero di non spaventarti con questo lunghissimo papiro: ho solo cercato di spiegare col massimo dettaglio ogni passaggio.
[asvg]xmin=-5; xmax=9; ymin=0; ymax=12; axes("label"); stroke="lightgray"; line([3, 0], [3, 9]); stroke="black"; xmin=-6; xmax=3; plot("x^2"); circle([3, 9], 0.1); xmin=3; xmax=10; plot("8/x");fill="black"; circle([3, 8/3], 0.1);[/asvg]Vediamo come leggerlo. I due pallini, pieno e vuoto, ci informano del fatto che in prossimità della discontinuità il valore assunto è quello del pallino pieno. A sinistra si vede che stiamo assumendo valori sempre più grandi, e si capisce che, a patto di allontanarci abbastanza dallo zero, possiamo assumere valori grandi a volontà. In termini matematici $lim_{x \to -\infty} f(x)=+infty$.
A destra invece, la situazione è opposta, i valori sono sempre più piccoli. Anche qui, a patto di allontanarci abbastanza dallo zero questi valori possono essere piccoli a volontà. In termini matematici $lim_{x \to +\infty}f(x)=0$.
Ora calcoliamo $"inf"$ e $"sup"$ di $f$. Si tratta dell'estremo superiore e inferiore dei valori assunti dalla funzione $f$. Ricordiamo prima di tutto cos'è l'estremo superiore di un insieme di valori: si tratta del più piccolo dei numeri reali più grandi dell'insieme di valori assegnato (il minimo dei maggioranti in linguaggio matematico). Ad esempio l'estremo superiore di $[0, 1[$ è $1$: infatti ogni numero contenuto in $[0, 1[$ è per definizione più piccolo di $1$, e se un numero reale è più grande di tutti i numeri contenuti in $[0, 1[$, allora è maggiore oppure uguale ad $1$. Qualora l'insieme dei valori non sia limitato superiormente, ovvero contenga valori arbitrariamente grandi, si dice che l'estremo superiore è infinito ($+infty$). In modo analogo si definisce l'estremo inferiore, il più grande dei numeri reali più piccoli dei valori assegnati (massimo dei minoranti).
Nel nostro caso, abbiamo visto che il grafico raggiunge posizioni arbitrariamente alte, ovvero che la nostra funzione può assumere valori arbitrariamente grandi. Questo significa che $"sup"f=+infty$. Invece, in nessun punto la funzione può essere più piccola di $0$: quindi $0$ è un minorante. Non solo, ma $0$ è anche un valore raggiunto dalla funzione: infatti $f(0)=0$. Questo significa che $0$ è il minimo di $f$. Il minimo è automaticamente anche l'estremo inferiore: se un numero reale è più piccolo di tutti i valori assunti da $f$, allora questo numero deve essere più piccolo di $0$ per forza; quindi $0$ è il massimo dei minoranti, ovvero l'estremo inferiore. E, per venire alla tua domanda, questo minimo è assunto per $x=0$: si dice allora che $0$ è un punto di minimo per la funzione $f$, un punto in cui la funzione raggiunge il valore minimo.
Concludiamo riassumendo il risultato: $"inf"f=0, "min"f=0, "sup"f=+infty$, mentre non esiste $"max"f$.
Spero di non spaventarti con questo lunghissimo papiro: ho solo cercato di spiegare col massimo dettaglio ogni passaggio.
grazie mille... quindi minf e maxf sono i valori che assume f in un dato punto... giusto?
Si, minimo e massimo sono valori assunti dalla funzione, mentre inf e sup possono anche non essere assunti. Ecco, facciamo un altro esempio. Prendiamo una funzione con questo grafico:
[asvg]ymin=-1.2;ymax=1.2;xmin=-9; xmax=9; axes("label"); xmin=-10; xmax=10; plot("2*arctan(x)/(Math.PI)");stroke="lightgray"; line([-10, 1], [10, 1]); line([-10, -1], [10, -1]);[/asvg]
La funzione assume valori compresi tra $-1$ e $1$, simboleggiati dalle linee in grigio chiaro, e questi valori sono rispettivamente l'estremo inferiore e l'estremo superiore. Ma non sono mai raggiunti, in nessun punto succede che $f(x)=-1$ oppure che $f(x)=+1$. In questa situazione minimo e massimo non esistono.
[asvg]ymin=-1.2;ymax=1.2;xmin=-9; xmax=9; axes("label"); xmin=-10; xmax=10; plot("2*arctan(x)/(Math.PI)");stroke="lightgray"; line([-10, 1], [10, 1]); line([-10, -1], [10, -1]);[/asvg]
La funzione assume valori compresi tra $-1$ e $1$, simboleggiati dalle linee in grigio chiaro, e questi valori sono rispettivamente l'estremo inferiore e l'estremo superiore. Ma non sono mai raggiunti, in nessun punto succede che $f(x)=-1$ oppure che $f(x)=+1$. In questa situazione minimo e massimo non esistono.
Non riesco a vedere il grafico..cmq CREDO di aver capito.. sei stato chiarissimo..sono io che son dura! Grazie mille..!
Che browser usi? Se usi Firefox, prova a cliccare con il pulsante destro del mouse su Riporta, dovrebbe funzionare. Se invece usi IE devi installare Adobe SVG Viewer.
uso Firefox 
ma non vedo riporta..
ma non vedo riporta..
In alto a destra nel post incriminato. E' un riquadretto piccolino, rettangolare, con una scritta arancione.
E adesso ho capito pure perché avevi tutti quei problemi con le formule! E' purtroppo un difetto di Firefox, non è molto compatibile con questo forum. Ne abbiamo parlato qui:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#434787
Ma forse fai prima a passare ad un altro browser, quando consulti il forum. Mi piange il cuore nel dire questo, perché anche io uso Firefox, ma... è la dura realtà.
E adesso ho capito pure perché avevi tutti quei problemi con le formule! E' purtroppo un difetto di Firefox, non è molto compatibile con questo forum. Ne abbiamo parlato qui:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#434787
Ma forse fai prima a passare ad un altro browser, quando consulti il forum. Mi piange il cuore nel dire questo, perché anche io uso Firefox, ma... è la dura realtà.
aaaaaaaa ok..il grafico l'ho capito.. grazie..! e per firefox.. vedrò di adattarmi.. grazie mille!
p.s. vai tranquillo che da mercoledi in poi non posterò più domande.. almeno x ora.. :p
e per firefox.. vedrò di adattarmi.. grazie mille! p.s. vai tranquillo che da mercoledi in poi non posterò più domande.. almeno x ora.. :p
"Economy89":Per me puoi postare tutte le domande che vuoi, basta che siano in linea con lo spirito del forum. Non ti ho mai voluto cacciare da qui.
p.s. vai tranquillo che da mercoledi in poi non posterò più domande..
si lo so.. scherzavo..!
si consideri f : R ---> R definita come segue:
......... { - $x^2$ - 2x .............. se x < 0
f(x) = { 2 + x ..................... se x appartiene [0,3]
.........{ $x^2$ - 8x + 20 ...........se x > 3
(la graffa è il segno del sistema)
Domanda:
Sia E l'intervallo [-1,2], Si ricavi f(E) e si provi che la restrizione di f ad E, f E : E ---> f(E), è invertibile. Si rappresenti il grafico di $f(E)^-1$ (con la variabile sull'asse orizzontale).
A questo punto..che dovrei fare?
Io ho provato a sostituire dei valori da -1 a 2 . Ho sostituito -1 nella prima funzione, e valori come 0, 1, 2 nella seconda funzione. Ma poi son bloccata e non capisco come trovo la restrizione e come posso poi rappresentare il grafico di $f(E)^-1$ , ovvero dell'inversa di fE
......... { - $x^2$ - 2x .............. se x < 0
f(x) = { 2 + x ..................... se x appartiene [0,3]
.........{ $x^2$ - 8x + 20 ...........se x > 3
(la graffa è il segno del sistema)
Domanda:
Sia E l'intervallo [-1,2], Si ricavi f(E) e si provi che la restrizione di f ad E, f E : E ---> f(E), è invertibile. Si rappresenti il grafico di $f(E)^-1$ (con la variabile sull'asse orizzontale).
A questo punto..che dovrei fare?
Io ho provato a sostituire dei valori da -1 a 2 . Ho sostituito -1 nella prima funzione, e valori come 0, 1, 2 nella seconda funzione. Ma poi son bloccata e non capisco come trovo la restrizione e come posso poi rappresentare il grafico di $f(E)^-1$ , ovvero dell'inversa di fE
La "restrizione" si ottiene semplicemente non considerando la parte di grafico che eccede l'intervallo assegnato. Per l'invertibilità il discorso è più delicato. Quando una funzione è invertibile il grafico dell'inversa si trova operando una riflessione rispetto alla bisettrice del primo quadrante. Adesso purtroppo non ho tempo di farti i disegni del caso, perciò ti rimando a questa pagina:
http://www.batmath.it/matematica/fondam ... estriz.htm
per informazioni sulla "restrizione" di una funzione, e a questa pagina:
http://www.batmath.it/matematica/fondam ... nversa.htm
per informazioni sull'"inversa" di una funzione.
http://www.batmath.it/matematica/fondam ... estriz.htm
per informazioni sulla "restrizione" di una funzione, e a questa pagina:
http://www.batmath.it/matematica/fondam ... nversa.htm
per informazioni sull'"inversa" di una funzione.
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