Funzione uniformemente continua

[domenico.migl]

Salve, ho qualche problemino nel capire quando una funzione è uniformemente continua, in un intervallo del dominio di definizione. Conosco la definizione di continuità uniforme e il teorema di Heine-Cantor.. Però mi servirebbe un mezzo per dimostrare che la funzione in un determinato intervallo è uniformemente continua. Ad esempio, stavo studiando la funzione $xe^(1/x)$ nell'intervallo $[-1,0[$. Dal grafico vedo che è uniformemente continua ma come faccio a dimostrarlo?

[gugo82]

Ci sono tanti modi... Uno di questi è provare che la funzione è derivabile nell'intervallo che interessa e che la sua derivata prima è limitata.
Infatti, se ciò accade, detto $M$ un maggiorante di $|f^\prime|$ nell'intervallo, per Lagrange hai:
\[
|f(x_1)-f(x_2)|=|f^\prime (\xi)|\ |x_1-x_2|\leq M\ |x_1-x_2|
\]
(in cui $\xi$ è un punto dell'intervallo di estremi $x_1$ ed $x_2$) e puoi soddisfare la definizione di funzione uniformemente continua prendendo $\delta = \epsilon/(M+1)$ ad esempio.

Un altro modo, in intervalli limitati, è quello di constatare che la funzione $f$ in esame si può prolungare con continuità sugli estremi dell'intervallo. In tal modo, il prolungamento $f^**$ diventa u.c. sull'intervallo chiuso e limitato in cui è definita per Heine-Cantor ed $f$ risulta u.c. nell'intervallo iniziale per restrizione.

[domenico.migl]

Ti ringrazio, non potevi essere più chiaro!