FUNZIONE UN Pò COMPLESSA

raf881
ho qsta funzione:

$ y= log (x - sqrt(x))$ IL LOG è IN BASE $1/2$

per il dominio devo porre allora

$ x - sqrt (x) >0 $

quindi verrebbe $ sqrt (x) < x$
per la regola delle disequazioni negative abbiamo un sistema di qsto tipo:

$\{ (x > 0 ) , ( x > 0) , ( x < x^2 ) :}$

risolvendolo viene che $ x > 1 $

sbaglio qlcosa????

Risposte
Lord K
No nessun errore a parer mio! Lo si vede anche dal grafico delle due funzioni $y=sqrt(x)$ e $y=x$.

raf881
perfetto e grz mille

Però avrei altri dubbi:

$\lim_{n \to \1} f(x) = infty $ ?


$\lim_{n \to \ infty} f(x) = $ ??

e infine la derivata prima di qsta funzione è $[2sqrt (x) - 1 ]/ [ (x- sqrt (x) ) 2sqrt (x) ] log e $

quindi cme faccio a studiare la decrescenza della funzione?

Lord K
Qui hai fatto un poca di confusione con le lettere B) ($ln$ sta per logaritmo naturale)

$lim_(x rightarrow 1) (ln(x-sqrt(x)))/(ln2) = 1/(ln2) *lim_(x rightarrow 1) (ln(x-sqrt(x))) = +oo$

La derivata, seguendo la regola di derivazione di funzione composta:

$D[ (ln(x-sqrt(x)))/(ln2)] = 1/(ln2) Dln(x-sqrt(x)) = 1/(ln2) *1/(x-sqrt(x)) * D(x-sqrt(x)) = 1/(ln2) *1/(x-sqrt(x)) * (1-1/(2sqrt(x)))$

da questa vedi come cresce o descresce valutando il segno qi quanto sotto.

$1/(ln2) *1/(x-sqrt(x)) * (1-1/(2sqrt(x)))= 1/(ln2) * (2sqrt(x)-1)/(sqrt(x)*(x-sqrt(x)))$

FireXl
si, credo che $lim_(x->1)(f(x)) = +\infty$

raf881
gentile lord
le volevodire che il log è IN BASE 1/2 come ho evidenziato nel primo post

poi la $ f(x)= log ( x - sqrt (x) ) $ dove ripeto il log è in base 1/2

Lord K
Non so perchè mi è passato per la mente il $2$ e come mai l'ho portato in fondo... mettici un meno davanti e ottieni comunque il procedimento ;)

raf881
ma anke la funzione che lei ha considerato è sbagliata

Lord K
Scrivo e ti chiarisco:

$f(x) = lg_(1/2)(x-sqrt(x)) = (ln(x-sqrt(x)))/(ln(1/2)) = -(ln(x-sqrt(x)))/(ln2)$

Per le proprietà dei logaritmi!

P.S. il "lei" non serve, qui siamo tra amici!

raf881
le sarei grato......ops scusami è tra amici...
ti sarei grato se mi evidenzi le propr dei log che hai sfruttato

raf881
ho capito
ha sfruttato il cambiamento di base
tu sei un grande
grz mile

Lord K
$log_(a)b = (log_(c)a)/ (log_(c)b)$

nella prima uguaglianza e nella seconda come caso particolare:

$log_(a) 1/b = log_(a)1-log_(a)b = -log_(a)b$

raf881
ti ringrazio veramente lord
quindi lei mi sta dicendo studia la funzione in qsta maniera xkè è più semplice

veramente grazie

sei stato gentilissimo e distinto

grz mille ancora

Lord K
Di nulla!

raf881
PROBLEMA sui limiti:

$\lim_{X \to \ 1} log ( x - sqrt (x))= +infty $ IL LOG è IN BASE $1/2 $

e cambiando la base la funzione diventerà

$y= [ln ( x - sqrt (x))]/ (ln( 1/2)) $

e lo stesso limite dà lo stesso risultato??? teoricamente nn mi trovo!!!!

$\lim_{X \to \ 1} [ln ( x - sqrt (x))]/ (ln (1/2)) = +infty$ ????? se è vero xkè????


infine

$\lim_{X \to \ +infty } log ( x - sqrt (x))=$ a qnto è uguale??????

Lord K
"raf88":
PROBLEMA sui limiti:

$\lim_{X \to \ 1} log ( x - sqrt (x))= +infty $ IL LOG è IN BASE $1/2 $

e cambiando la base la funzione diventerà

$y= [ln ( x - sqrt (x))]/ (ln( 1/2)) $

e lo stesso limite dà lo stesso risultato???


Ovvio che sì altrimenti non vale l'uguaglianza!!!



$\lim_{X \to \ 1} [ln ( x - sqrt (x))]/ (ln (1/2)) = +infty$ ????? se è vero xkè????


Il logaritmo al numeratore tende a $-oo$, il logaritmo al denominatore è negativo, quindi il tutto tende a $+oo$

Il limite originale è identico!!!!

raf881
hai ragionissimo!!!!!!!!!


e il

$\lim_{X \to \ +infty } log ( x - sqrt (x))=$ a qnto è uguale??????

oppure a qnto è uguale

$\lim_{X \to \ +infty} [ln ( x - sqrt (x))]/ (ln (1/2)) = $ ???

Lord K
"raf88":

$\lim_{X \to \ +infty} [ln ( x - sqrt (x))]/ (ln (1/2)) = $ ???


Osserva che razionalizzando nell'argomento del logaritmo:

$\lim_{x \to \ +infty} [ln ( x - sqrt (x))]/ (ln (1/2)) =1/(ln2) \lim_{x \to \ +infty}ln [( x - sqrt (x))*( x + sqrt (x))/( x + sqrt (x))] = 1/(ln2) \lim_{x \to \ +infty}ln [(x^2-x)/( x + sqrt (x))]$

Divido tutto per $x^2$:

$1/(ln2)\lim_{x \to \ +infty}ln [(x^2-x)/( x + sqrt (x))] =1/(ln2) \lim_{x \to \ +infty}ln [(1-1/x)/( 1/x + 1/x^(3/2))] =-oo$

raf881
grz mille
sei veramente un grande

grz

Lord K
Okkio che anche stavolta ho considerato il $2$ e non $1/2$. Sorry per la svista! :P

raf881
Lord mi dispiace ancora disturbarti ma ho dei problemi con la monotonia e la positività
però ti posto i miei passaggi e tu mi dici dove sbaglio:

studio la positività di $[ln (x - sqrt(x)]/[ln (1/2)]>=0$
$ ln (x - sqrt(x)] >=0$
e $ln (1/2)>=0$

la prima è vera qnd$ x - sqrt(x)>=1$ $=>$ $ sqrt(x)<= x - 1

$=>$ $\{ (x >= 0) , ( x - 1 >=0 ) , (x <= x^2 + 1 - 2x ):}$
la terza disequazione ha soluzioni per $ x <= [3 - sqrt(5)]/2$ e $x >= [ 3 + sqrt(5)]/2$
quindi la funzione è positiva per $x>=1$
tra poco posto la monotonia

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