Funzione tra spazi topologici manda compatti in compatti

[giocind_88]

Salve a tutti. Cortesemente potrei avere una delucidazione sulla dimostrazione del fatto che: Data una funzione continua f: X -> Y con X,Y spazi topologici allora dato un sottoinsieme K di X compatto si ha che f (K) è un compatto di Y.
Grazie mille anticipatamente.

[Raptorista1]

È più facile aiutarti se tu mostri la dimostrazione che stai studiando e dici dove hai difficoltà.

[giocind_88]

Nella dimostrazione si parte da un ricoprimento aperto V di f(X) e da ciò segue che l'insieme delle controimmagini mediante f del ricoprimento di f(X) è un ricoprimento aperto di X. Poi c'è scritto che essendo X compatto (non ho capito il perchè ci sia scritta questa ipotesi) allora X ammette un ricoprimento finito ssia esistono i = 1,.....n per cui X risulta incluso nell'unione delle varie controimmagini degli n elementi (che chiamiamo V1,....Vn) appartenenti al ricoprimento di f(X). Per una proprietà delle funzioni, l'unione appena considerata è uguale alla controimmagine dell'unione di V1, V2,.... Vn. Applicando la f ad X e alla controimmagine dell'unione di V1, V2, ...Vn si ha che f(X) è contenuto nell'unione di V1,...Vn. Pertanto f(X) ammette un ricoprimento finito ossia è compatto. Così termina la dimostrazione.
Ancora grazie mille per la cortese attenzione e disponibilità

[Raptorista1]

Non viene menzionato $K$ nella tua dimostrazione. Non è che la $X$ della dimostrazione è in realtà una $K$?

[giocind_88]

Buongiorno . Infatti, è ciò che ho notato anch'io e mi ha fatto dubitare dell'esattezza dell'intera dimostrazione. Però "purtroppo" dalla scrittura è evidentissimo che si tratta di una X ... E ho notato che nell'enunciato della dimostrazione c'è il segno di inclusione stretta tra K e X ... Mi aiuti, per favore . Grazie mille .

[Raptorista1]

A me sembra evidente che dove dici "\(X\) è compatto per ipotesi" dovrebbe esserci "\(K\) è compatto per ipotesi", quindi non può essere come l'hai scritta. Prova a vedere se cambiando qualche \(X\) in \(K\) esce una dimostrazione sensata.

[giocind_88]

Buonasera. Mi scusi per il ritardo, ho avuto problemi di connessione internet. Anche per me dovrebbe esserci K al posto di X ma sul materiale dal quale sto studiando c'è X nel corso della dimostrazione che ho riportato sopra . Si trova che dovrei cambiare ogni X scritta nella dimostrazione riportata sopra con K? Ancora grazie mille.