Funzione test per la delta di dirac
Salve a tutti voi del forum. Anche se è molto che non scrivo è sempre un piacere ricordarsi dell'esistenza di questa risorsa 
Vi pongo il mio dubbio
Su un testo di analisi dei segnali ho trovato
$lim_{M->oo} 2M frac{sin(2\pi t M)}{2\pi t M} = \delta(t)$
cosa di cui non sono convinto, per il fatto che se pongo $t=frac{1}{2\pi}$ quel limite non esiste (o no?)
mentre la $\delta$ in $t=frac{1}{2\pi}$ vale 0. Ecco perchè secondo me l'uguaglianza non sussiste.
Però il testo è un testo serio, quindi illuminatemi
Vi pongo il mio dubbio
Su un testo di analisi dei segnali ho trovato
$lim_{M->oo} 2M frac{sin(2\pi t M)}{2\pi t M} = \delta(t)$
cosa di cui non sono convinto, per il fatto che se pongo $t=frac{1}{2\pi}$ quel limite non esiste (o no?)
mentre la $\delta$ in $t=frac{1}{2\pi}$ vale 0. Ecco perchè secondo me l'uguaglianza non sussiste.
Però il testo è un testo serio, quindi illuminatemi
Risposte
Mi devi perdonare ma non sono capace a trattare le distribuzioni come si fa in Analisi dei segnali, per me le distribuzioni non sono funzioni e non comprendo quello che dici tu.
Io farei così. Sia $T_M$ è la distribuzione associata alla funzione \(u_M \in L_{\text{loc}}^1( \mathbb R)\) dove
\[
u_M(t) = \frac{\sin(2\pi t M)}{\pi t}.
\]
Vogliamo dimostrare che \( \lim_{M \to \infty} T_M = \delta_0\) nel senso delle distribuzioni, dove $\delta_0$ è la distribuzione di Dirac centrata in $0$. Siccome su $\mathcal D^{\prime}$ si mette la topologia weak-$\star$, in pratica dobbiamo dimostrare
\[
\lim_{M \to+\infty} \int_{\mathbb R} \frac{\sin(2\pi t M)}{\pi t} \phi(t) dt = \phi(0)
\]
per ogni test \(\phi \in C_c^{\infty}(\mathbb R)\). Questo si può fare ad esempio con convergenza dominata (magari dopo aver cambiato variabile $2\pi tM := w$) e ricordando che
\[
\int_{\mathbb R} \frac{\sin(w)}{w}dw = \pi.
\]
Prova un po' e poi facci sapere. Spero ti sia utile
Io farei così. Sia $T_M$ è la distribuzione associata alla funzione \(u_M \in L_{\text{loc}}^1( \mathbb R)\) dove
\[
u_M(t) = \frac{\sin(2\pi t M)}{\pi t}.
\]
Vogliamo dimostrare che \( \lim_{M \to \infty} T_M = \delta_0\) nel senso delle distribuzioni, dove $\delta_0$ è la distribuzione di Dirac centrata in $0$. Siccome su $\mathcal D^{\prime}$ si mette la topologia weak-$\star$, in pratica dobbiamo dimostrare
\[
\lim_{M \to+\infty} \int_{\mathbb R} \frac{\sin(2\pi t M)}{\pi t} \phi(t) dt = \phi(0)
\]
per ogni test \(\phi \in C_c^{\infty}(\mathbb R)\). Questo si può fare ad esempio con convergenza dominata (magari dopo aver cambiato variabile $2\pi tM := w$) e ricordando che
\[
\int_{\mathbb R} \frac{\sin(w)}{w}dw = \pi.
\]
Prova un po' e poi facci sapere. Spero ti sia utile
Qualcuno che mi aiuta a sciogliere il dubbio?
è vero che $\delta 0$ è nulla eccetto che nell'origine?
perchè se prendo quella funzione test e faccio il limite per $M->oo$ per $t$ non nullo non ottengo zero!
Sicuramente è un problema di definizioni, sul nesso tra funzione e distribuzione.
è vero che $\delta 0$ è nulla eccetto che nell'origine?
perchè se prendo quella funzione test e faccio il limite per $M->oo$ per $t$ non nullo non ottengo zero!
Sicuramente è un problema di definizioni, sul nesso tra funzione e distribuzione.
Anche su Wikipedia dice la stessa cosa: nel paragrafo "La delta e la trasformata di Fourier"
Per me quel limite per $N->0$ non fa zero. Perchè fa zero?
http://it.wikipedia.org/wiki/Delta_di_Dirac
Per me quel limite per $N->0$ non fa zero. Perchè fa zero?
http://it.wikipedia.org/wiki/Delta_di_Dirac
Comprendo la tua difficoltà, mi spiace non saperti aiutare di più perché non conosco il modo in cui insegnano ai fisici e agli ingegneri le distribuzioni. L'unica cosa che posso fare è provare a raccontarti la storia come la so io, sperando di riuscire a chiarire un po' di cose.
Sarò schematico:
1. Definizione
Una distribuzione è una "funzione" che prende una funzione con certe proprietà e restituisce un numero reale. Siccome la dicitura "funzione di una funzione" è orrenda e cacofonica, si preferisce dire funzionale.
Più precisamente, considera un aperto $\Omega \subset \RR^n$ e prendi le funzioni definite su questo aperto che siano $C^{\infty}(\Omega)$ (infinitamente derivabili e con derivate continue sull'aperto) e a supporto compatto. Chiamo lo spazio (vettoriale) di queste funzioni spazio delle funzioni test e lo indico con $C_c^{\infty}(\Omega)$.
Munisco questo spazio di una topologia, cioè do' un criterio per stabilire quando una mappa $C_c^{\infty}(\Omega) \to \RR$ è continua (glisso un po' qui perché a ben vedere la costruzione della topologia non è banale, e.g. lo spazio non è normabile).
Bene, una distribuzione è un funzionale lineare e continuo sullo spazio delle funzioni test; prende una funzione test e restituisce un numero reale e lo fa in maniera decente, cioè continua e lineare. Punto, fine della definizione.
2. Esempi?
Partiamo dal più semplice: la delta. Prendiamo $\Omega=\RR^n$; la delta di Dirac è la distribuzione definita da
\[
\begin{split}
\delta_0 \colon C_c^{\infty}(\mathbb R^n) &\to \mathbb R \\
\phi &\mapsto \phi(0)
\end{split}
\]
Prende una test e restituisce un numero dato dalla valutazione in $0$ della test. Si verifica facilmente che è lineare e anche che è continua (come sopra, glisso per ora), quindi è a tutti gli effetti una distribuzione.
Altri esempi. Qualunque funzione localmente integrabile genera una distribuzione in questo modo. Prendi \(u \in L_{\rm loc}^1(\mathbb{R}^n)\) e considera il funzionale definito da
\[
\begin{split}
T_u \colon C_c^{\infty}(\mathbb R^n) &\to \mathbb R \\
\phi &\mapsto \int_{\mathbb R^n} u(x)\phi(x)dx
\end{split}
\]
Si verifica che è una distribuzione e questo ci permette di affermare - visto che l'assegnazione è canonica - le funzioni \(L_{\rm loc}^1\) sono distribuzioni (anche se stiamo commettendo un abuso di linguaggio). Analogamente si potrebbe fare per le misure; insomma, lo spazio delle distribuzioni è una cosa immensa.
3. Successioni e convergenza weak-\(\star\).
Si possono ovviamente considerare successioni di distribuzioni e si può dare una nozione di convergenza: per farla breve, si dice che una successione $(T_n)_n$ di distribuzioni (è una successione di funzionali!) converge a una distribuzione $T$ se converge puntualmente, i.e. se
\[
T_n(\phi) \to T(\phi) \in \mathbb R
\]
per ogni test $\phi$.
A questo punto hai tutti gli ingredienti - credo - per rileggere e comprendere il mio post sopra, interpretando correttamente quel limite: in sostanza, il tuo esercizio ti chiede di considerare la successione di distribuzioni associate a quelle funzioni $u_M(t)$ (M è il parametro) e di mostrare che il limite (nel senso delle distribuzioni) di tale successione è dato dalla delta.
Mi scuso per la presentazione breve e scarna, avevo buttato giù due righe ieri ma non piacevano e non le avevo inviate; spero comunque che ti possano essere utili e spero di essere riuscito a fare un po' di luce.
Facci sapere se ti torna tutto.
Sarò schematico:
1. Definizione
Una distribuzione è una "funzione" che prende una funzione con certe proprietà e restituisce un numero reale. Siccome la dicitura "funzione di una funzione" è orrenda e cacofonica, si preferisce dire funzionale.
Più precisamente, considera un aperto $\Omega \subset \RR^n$ e prendi le funzioni definite su questo aperto che siano $C^{\infty}(\Omega)$ (infinitamente derivabili e con derivate continue sull'aperto) e a supporto compatto. Chiamo lo spazio (vettoriale) di queste funzioni spazio delle funzioni test e lo indico con $C_c^{\infty}(\Omega)$.
Munisco questo spazio di una topologia, cioè do' un criterio per stabilire quando una mappa $C_c^{\infty}(\Omega) \to \RR$ è continua (glisso un po' qui perché a ben vedere la costruzione della topologia non è banale, e.g. lo spazio non è normabile).
Bene, una distribuzione è un funzionale lineare e continuo sullo spazio delle funzioni test; prende una funzione test e restituisce un numero reale e lo fa in maniera decente, cioè continua e lineare. Punto, fine della definizione.
2. Esempi?
Partiamo dal più semplice: la delta. Prendiamo $\Omega=\RR^n$; la delta di Dirac è la distribuzione definita da
\[
\begin{split}
\delta_0 \colon C_c^{\infty}(\mathbb R^n) &\to \mathbb R \\
\phi &\mapsto \phi(0)
\end{split}
\]
Prende una test e restituisce un numero dato dalla valutazione in $0$ della test. Si verifica facilmente che è lineare e anche che è continua (come sopra, glisso per ora), quindi è a tutti gli effetti una distribuzione.
Altri esempi. Qualunque funzione localmente integrabile genera una distribuzione in questo modo. Prendi \(u \in L_{\rm loc}^1(\mathbb{R}^n)\) e considera il funzionale definito da
\[
\begin{split}
T_u \colon C_c^{\infty}(\mathbb R^n) &\to \mathbb R \\
\phi &\mapsto \int_{\mathbb R^n} u(x)\phi(x)dx
\end{split}
\]
Si verifica che è una distribuzione e questo ci permette di affermare - visto che l'assegnazione è canonica - le funzioni \(L_{\rm loc}^1\) sono distribuzioni (anche se stiamo commettendo un abuso di linguaggio). Analogamente si potrebbe fare per le misure; insomma, lo spazio delle distribuzioni è una cosa immensa.
3. Successioni e convergenza weak-\(\star\).
Si possono ovviamente considerare successioni di distribuzioni e si può dare una nozione di convergenza: per farla breve, si dice che una successione $(T_n)_n$ di distribuzioni (è una successione di funzionali!) converge a una distribuzione $T$ se converge puntualmente, i.e. se
\[
T_n(\phi) \to T(\phi) \in \mathbb R
\]
per ogni test $\phi$.
A questo punto hai tutti gli ingredienti - credo - per rileggere e comprendere il mio post sopra, interpretando correttamente quel limite: in sostanza, il tuo esercizio ti chiede di considerare la successione di distribuzioni associate a quelle funzioni $u_M(t)$ (M è il parametro) e di mostrare che il limite (nel senso delle distribuzioni) di tale successione è dato dalla delta.
Mi scuso per la presentazione breve e scarna, avevo buttato giù due righe ieri ma non piacevano e non le avevo inviate; spero comunque che ti possano essere utili e spero di essere riuscito a fare un po' di luce.
Facci sapere se ti torna tutto.
Intanto ti ringrazio . Alcune cose sono più chiare, piano piano faccio luce.
Ok per la convergenza nel senso delle distribuzione. Ma essendo la $\delta 0$ un funzionale,
come si fa a dire che vale zero in tutti i punti tranne che in zero?! cioè perchè gli si da una proprietà di
una funzione, se una funzione non è?
Il mio dubbio è anche relativo alla funzione approssimante la delta di cui al primo post.
però se faccio il limite in senso ordinario di quella successione di funzioni per $M->oo$, per t diverso da zero,
non ho convergenza. Invece sono d'accordo sulla convergenza nel senso delle distribuzioni.
. Alcune cose sono più chiare, piano piano faccio luce.Ok per la convergenza nel senso delle distribuzione. Ma essendo la $\delta 0$ un funzionale,
come si fa a dire che vale zero in tutti i punti tranne che in zero?! cioè perchè gli si da una proprietà di
una funzione, se una funzione non è?
Il mio dubbio è anche relativo alla funzione approssimante la delta di cui al primo post.
però se faccio il limite in senso ordinario di quella successione di funzioni per $M->oo$, per t diverso da zero,
non ho convergenza. Invece sono d'accordo sulla convergenza nel senso delle distribuzioni.
Anzitutto scusami per il ritardo, sono un po' incasinato in questi giorni.
Eh, appunto questa è una bella domanda. Io non so la risposta, perché non conosco né il modo in cui si insegnano agli ingegneri le distribuzioni - come dicevo sopra - né come loro usino effettivamente questi strumenti.
L'unica supposizione che mi sento di fare è questa: prendi la solita famiglia \( (\rho_k)_k\) di nuclei mollificatori in $\RR^n$, che sono certamente funzioni integrabili (sono particolari funzioni lisce a supporto compatto!). Si verifica che il limite nel senso delle distribuzioni è dato dalla delta centrata in 0 (e se guardi i grafici dei mollificatori ti accorgi che si stringono sempre più attorno a zero - mantenendo sempre integrale pari a 1).
Forse, in questo remoto senso, la delta può essere pensata come una "funzione" che vale infinito in zero e zero altrove, avente integrale pari a 1. Ma per me è comunque una fesseria, la definizione giusta è quella che ti ho riportato sopra.
Magari altri sapranno dirti meglio. Se hai ancora dubbi siamo qui.
"seven":
Ma essendo la $ \delta 0 $ un funzionale,
come si fa a dire che vale zero in tutti i punti tranne che in zero?! cioè perchè gli si da una proprietà di
una funzione, se una funzione non è?
Eh, appunto questa è una bella domanda. Io non so la risposta, perché non conosco né il modo in cui si insegnano agli ingegneri le distribuzioni - come dicevo sopra - né come loro usino effettivamente questi strumenti.
L'unica supposizione che mi sento di fare è questa: prendi la solita famiglia \( (\rho_k)_k\) di nuclei mollificatori in $\RR^n$, che sono certamente funzioni integrabili (sono particolari funzioni lisce a supporto compatto!). Si verifica che il limite nel senso delle distribuzioni è dato dalla delta centrata in 0 (e se guardi i grafici dei mollificatori ti accorgi che si stringono sempre più attorno a zero - mantenendo sempre integrale pari a 1).
Forse, in questo remoto senso, la delta può essere pensata come una "funzione" che vale infinito in zero e zero altrove, avente integrale pari a 1. Ma per me è comunque una fesseria, la definizione giusta è quella che ti ho riportato sopra.
Magari altri sapranno dirti meglio. Se hai ancora dubbi siamo qui.
Sei molto gentile, spero di poterti fare altre domande. Comunque ho trovato su internet delle dispense veramente molto chiare, ho compreso molto (anche con l'aiuto tuo e dell'altro thread).
Oggi ho chiesto anche al prof di automatica, che mi ha detto che la delta è una misura (e altre cose di seguito)...
però sinceramente non so neanche che si intende con misura quindi non mi è stato di aiuto.
Poi ha continuato dicendomi che per quello che se ne fa nel corso di automatica le proprietà in realtà false
vengono introdotte perchè funzionano lo stesso e semplificano, mentre in aspetti teorici più particolari (come
è capitato a me) occorre una maggiore generalità per cui ci si deve riferire a definizioni più rigorose.
Ti ringrazio per il link, ancora non ho letto per bene, ma approfondirò
Oggi ho chiesto anche al prof di automatica, che mi ha detto che la delta è una misura (e altre cose di seguito)...
però sinceramente non so neanche che si intende con misura quindi non mi è stato di aiuto.
Poi ha continuato dicendomi che per quello che se ne fa nel corso di automatica le proprietà in realtà false
vengono introdotte perchè funzionano lo stesso e semplificano, mentre in aspetti teorici più particolari (come
è capitato a me) occorre una maggiore generalità per cui ci si deve riferire a definizioni più rigorose.
Ti ringrazio per il link, ancora non ho letto per bene, ma approfondirò
"seven":
Ma essendo la $\delta 0$ un funzionale, come si fa a dire che vale zero in tutti i punti tranne che in zero?! cioè perchè gli si da una proprietà di una funzione, se una funzione non è?
Questa cosa l'ho vista scrivere solo su vecchi libri di Teoria dei Segnali o altre zozzerie ingegneristiche varie ed eventuali. Non credo che ci sia qualche libro di Matematica "serio" che riporti un passaggio del genere.
Anzi, su diversi testi c'è proprio una bella dimostrazione del seguente fatto:
Non esiste alcuna funzione \(d\in L_{\rm loc}^1(\mathbb{R})\) per cui risulta:
\[
\langle \delta_0 ,u\rangle = \int_\mathbb{R} d(x)\ u(x)\ \text{d} x
\]
per ogni funzione test \(u\in C_c^\infty (\mathbb{R})\).
che fuga ogni dubbio sulla possibilità di identificare il funzionale \(\delta_0\) con una funzione localmente sommabile \(d\).
"seven":
Il mio dubbio è anche relativo alla funzione approssimante la delta di cui al primo post.
però se faccio il limite in senso ordinario di quella successione di funzioni per $M->oo$, per t diverso da zero,
non ho convergenza.
Questo ti dimostra che la convergenza nel senso delle distribuzioni è più debole delle convergenze usuali per le funzioni... Il che è del tutto naturale.
Ti ringrazio Gugo, è proprio come dicevi tu. Il mio scervellamento è nato leggendo una dimostrazione arrangiata
del fatto che la trasformata di Fourier della funzione costante $x->1$ è pari alla delta. L'ho letto su un libro di segnali,
http://www.ali-hosseini.ir/download/sm.pdf pag 27 del pdf esempio 3 (più che altro è la dimostrazione che non è coerente con la definizione di delta in precedenza).
Considera che io non ho neanche un esame di teoria dei segnali.
EDIT: vorrei far notare come anche su Wikipedia si diano informazioni erronee
http://it.wikipedia.org/wiki/Delta_di_D ... di_Fourier
del fatto che la trasformata di Fourier della funzione costante $x->1$ è pari alla delta. L'ho letto su un libro di segnali,
http://www.ali-hosseini.ir/download/sm.pdf pag 27 del pdf esempio 3 (più che altro è la dimostrazione che non è coerente con la definizione di delta in precedenza).
Considera che io non ho neanche un esame di teoria dei segnali.
EDIT: vorrei far notare come anche su Wikipedia si diano informazioni erronee
http://it.wikipedia.org/wiki/Delta_di_D ... di_Fourier
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