Funzione sommabile

[Mrs92]

Individuare i valori del parametro $alpha$ per cui la funzione risulta sommabile nell'intervallo $[- pi , pi]$

$f(x) = sin(2x^(1/3))/|x|^alpha$

siccome il denominatore è in moldulo divido il tutto in due parti

1$[- pi , 0]$
$f(x) = -sin(2x^(1/3))/x^alpha$

2$[0 , pi]$
$f(x) = sin(2x^(1/3))/x^alpha$


ottengo che per $alpha = -2/3$ posso ottenere la derivata di $cos(2x^(1/3))$

1
$3/2 int_-pi^0 f(x) = -2/3sin(2x^(1/3))/x^(-2/3) dx$

$|cos(2x^(1/3))|_-pi^0$ da cui $cos(0) - cos(2(-pi)^(1/3))$

stesso discorso per l'intervallo positivo....

giusto come ragionamento?

[Mrs92]

up

[Mrs92]

up

[gugo82]

Quindi secondo te quell'integrale esiste finito solo per \(\alpha =-2/3\)?


P.S.: Che libro di teoria usi? Che eserciziario usi?

[Mrs92]

il problema si presenta per $x=0$ quindi

$f(x) = sin(2x^(1/3))/|x|^alpha$

siccome il denominatore è in moldulo divido il tutto in due parti

1$[- pi , 0]$
$f(x) = -sin(2x^(1/3))/x^alpha$

$ U(0^-) $ -> $ f(x) sim (2x^(1/3))/(x^alpha) = 2/(x^(alpha - 1/3))$
da cui $alpha - 1/3 < 1$

$alpha <4/3$

2$[0 , pi]$
$f(x) = sin(2x^(1/3))/x^alpha$

procedimento simile qui...