Funzione prolungabile in R
Mi si chiede di stabilire se:
[tex]\sqrt{1+log|x|}[/tex] è prolungabile in R.
Ora, io conosco la definizione di funzione prolungabile, ma è relativa ad un punto dell'insieme, cioè se il limite in quel punto esiste finito ma è diverso dal valore che la funzione assume nel punto allora si dice che la funzione ammette questo punto di discontinuità eliminabile.
Ma come faccio a stabilirlo su R?
domf=[tex]]-\infty,-\frac{1}{e}]U[\frac{1}{e},+\infty[[/tex]
Se non sbaglio..
[tex]\sqrt{1+log|x|}[/tex] è prolungabile in R.
Ora, io conosco la definizione di funzione prolungabile, ma è relativa ad un punto dell'insieme, cioè se il limite in quel punto esiste finito ma è diverso dal valore che la funzione assume nel punto allora si dice che la funzione ammette questo punto di discontinuità eliminabile.
Ma come faccio a stabilirlo su R?
domf=[tex]]-\infty,-\frac{1}{e}]U[\frac{1}{e},+\infty[[/tex]
Se non sbaglio..
Risposte
Se tu non sbagliassi tale funzione non sarebbe prolungabile in [tex]\mathbb{R}[/tex] in quanto non è definita nell'intervallo [tex](-\frac{1}{e};\frac{1}{e})[/tex].
Le funzioni si possono prolungare per continuità in un punto ma non in un intervallo!
Le funzioni si possono prolungare per continuità in un punto ma non in un intervallo!
Perchè sono esclusi? Nel dominio non devo risolvere il sistema che rapidamente ti indico così:
[tex]x>=0[/tex]
[tex]1+logx>=0[/tex] In unione a quello dato dal valore assoluto minore di zero?
Perchè non vi vuole l'uguaglianza...
[tex]x>=0[/tex]
[tex]1+logx>=0[/tex] In unione a quello dato dal valore assoluto minore di zero?
Perchè non vi vuole l'uguaglianza...
Ho detto dove NON è definita la funzione!
AH quindi la risposta è che la funzione non è prolungabile perchè non è definita in tutto R?
Perché non è definita in un intervallo!
Se proprio la volessi prolungare dovresti passare ai numeri complessi
Se proprio la volessi prolungare dovresti passare ai numeri complessi
Quindi se non sbaglio è definita in un unione di intervalli, posso vedere se è prolungabile se è dfeinita in un intervallo solamente?
Ma in caso non dovrebbe essere specificato in quale numero?
Oppure se è definita in un intervallo posso dire che è sempre prolungabile?
Ma in caso non dovrebbe essere specificato in quale numero?
Oppure se è definita in un intervallo posso dire che è sempre prolungabile?
Data una funzione reale a valori reali, essa non sia definita in un insieme discreto (finito o numerabile; quindi escludo gl'intervalli in quanto insiemi con la potenza del continuo) di [tex]\mathbb{R}[/tex] se i limiti destro e sinistro di tale funzione in tali punti di discontinuità fossero finiti e coincidenti tale funzione sarebbe prolungabile in [tex]\mathbb{R}[/tex].
Se la data funzione non fosse definita in un intervallo (come il tuo caso) non è prolungabile in [tex]\mathbb{R}[/tex].
Sottolineo che il prolungamento di una funzione è un discorso eseguibile coi punti di discontinuità; infatti, sopra ho parlato di un insieme discreto di punti di discontinuità ed ho proseguito parlando per ogni singolo punto.
Detto questo devi essere in grado di ragionarci e capirlo da te!
Se la data funzione non fosse definita in un intervallo (come il tuo caso) non è prolungabile in [tex]\mathbb{R}[/tex].
Sottolineo che il prolungamento di una funzione è un discorso eseguibile coi punti di discontinuità; infatti, sopra ho parlato di un insieme discreto di punti di discontinuità ed ho proseguito parlando per ogni singolo punto.
Detto questo devi essere in grado di ragionarci e capirlo da te!
Ma quindi nel mio caso è perchè non è un intervallo finito?
Un intervallo ha finiti numeri? Non né conosco di esempi!
Allora non ho capito l'enunciato:
Ma prima avevi detto che è prolungabile se non è definita in un intervallo discreto, poi che se non è definita come nel mio caso in un intervallo non è prolugnabile....cosa confondo nelle definizioni?
Data una funzione reale a valori reali, essa non sia definita in un insieme discreto (finito o numerabile; quindi escludo gl'intervalli) di se i limiti destro e sinistro di tale funzione in tali punti di discontinuità fossero finiti e coincidenti tale funzione sarebbe prolungabile in .
Se la data funzione non fosse definita in un intervallo (come il tuo caso) non è prolungabile in .
Ma prima avevi detto che è prolungabile se non è definita in un intervallo discreto, poi che se non è definita come nel mio caso in un intervallo non è prolugnabile....cosa confondo nelle definizioni?
Mai parlato d'intervalli discreti, io ho detto insieme discreto! [tex]\mathbb{N;Z;Q}[/tex] sono insiemi discreti ma non intervalli di [tex]\mathbb{R}[/tex].
EDIT: Ho esplicitato ancora di più!
EDIT: Ho esplicitato ancora di più!
Ora mi viene da chiedere alcune cose su cui sta crollando la fiducia in me stesso.
Il dominio delle funzioni è un intervallo, anche il mio dovrebbe esserlo, sennò cos'è?
Quindi com'è possibile che non è definita in un intervallo la mia funzione?
[tex]]-\infty,-\frac{1}{e}]U[\frac{1}{e},+\infty[[/tex]
Unione di un intervallo semiaperto a sinistra con un intervallo semiaperto a destra....se non ricordo male.
Forse è meglio se mi fai esempi di dominio dove posso affermare che è prolungabile e qualcuno dove non è prolungabile.
Scusa ma sono de coccio......
Il dominio delle funzioni è un intervallo, anche il mio dovrebbe esserlo, sennò cos'è?
Quindi com'è possibile che non è definita in un intervallo la mia funzione?
[tex]]-\infty,-\frac{1}{e}]U[\frac{1}{e},+\infty[[/tex]
Unione di un intervallo semiaperto a sinistra con un intervallo semiaperto a destra....se non ricordo male.
Forse è meglio se mi fai esempi di dominio dove posso affermare che è prolungabile e qualcuno dove non è prolungabile.
Scusa ma sono de coccio......
Il dominio in tale caso è un'unione di 2 intervalli (si dice pluriintervallo); in generale è altro e ti rimando a questo post http://www.matematicamente.it/forum/domanda-di-esame-t58611.html.
E.g.1 [tex]$\frac{\sin x}{x}$[/tex] non è definita in [tex]0[/tex] ma è ivi prolungabile poiché [tex]$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$[/tex]
Qui hai [tex]0[/tex] come unico punto di discontinuità ed essa discontinuità è eliminabile!
E.g.2 [tex]$sgn(x)=\begin{cases}1\iff x>0\\-1\iff x<0\end{cases}$\,(funzione\,segno\,o\,signus)[/tex] non è definita in 0.
Qui hai [tex]0[/tex] come unico punto di discontinuità ed essa discontinuità non è eliminabile!
E.g.3 [tex]$chr_{\mathbb{Q}}(x)=\begin{cases}1\iff x\in\mathbb{Q}\\0\iff x\not\in\mathbb{Q}\end$\,(funzione\,di\,Dirichlet\,o\,caratteristica\,di\,\mathbb{Q})[/tex]
Tale funzione è definita ovunque ed ogni punto è di discontinuità non eliminabile!
Una funzione ove sia definita non è detto che sia continua come ti ho mostrato!
E.g.1 [tex]$\frac{\sin x}{x}$[/tex] non è definita in [tex]0[/tex] ma è ivi prolungabile poiché [tex]$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$[/tex]
Qui hai [tex]0[/tex] come unico punto di discontinuità ed essa discontinuità è eliminabile!
E.g.2 [tex]$sgn(x)=\begin{cases}1\iff x>0\\-1\iff x<0\end{cases}$\,(funzione\,segno\,o\,signus)[/tex] non è definita in 0.
Qui hai [tex]0[/tex] come unico punto di discontinuità ed essa discontinuità non è eliminabile!
E.g.3 [tex]$chr_{\mathbb{Q}}(x)=\begin{cases}1\iff x\in\mathbb{Q}\\0\iff x\not\in\mathbb{Q}\end$\,(funzione\,di\,Dirichlet\,o\,caratteristica\,di\,\mathbb{Q})[/tex]
Tale funzione è definita ovunque ed ogni punto è di discontinuità non eliminabile!
Una funzione ove sia definita non è detto che sia continua come ti ho mostrato!
Bè si......su dei punti la so calcolare, e a quella domanda che non saprei rispondere:
Io non posso prolungare quella funzione perchè è definita in un plurintervallo? Quindi non è definita in un intervallo, ma in un plurintervallo....allora non è prolungabile?
Provare che è prolungabile per continuità in R
Io non posso prolungare quella funzione perchè è definita in un plurintervallo? Quindi non è definita in un intervallo, ma in un plurintervallo....allora non è prolungabile?
L'unica affermazione corretta (che ho già scritto) la funzione non è prolungabile in quanto NON definita in un intervallo.
Dal mio post precedente:
E.g. [tex]\frac{\sin x}{x}[/tex] e[tex]sgn(x)[/tex] sono definite in [tex](-\infty;0)\cup(0;+\infty)[/tex] ma hanno 2 considerazione diverse.
Dal mio post precedente:
E.g. [tex]\frac{\sin x}{x}[/tex] e[tex]sgn(x)[/tex] sono definite in [tex](-\infty;0)\cup(0;+\infty)[/tex] ma hanno 2 considerazione diverse.
L'unica affermazione corretta (che ho già scritto) la funzione non è prolungabile in quanto NON definita in un intervallo.
Dal mio post precedente:
E.g. [tex]\frac{\sin x}{x}[/tex] e[tex]sgn(x)[/tex] sono definite in [tex](-\infty;0)\cup(0;+\infty)[/tex] ma hanno 2 conclusioni diverse.
Dal mio post precedente:
E.g. [tex]\frac{\sin x}{x}[/tex] e[tex]sgn(x)[/tex] sono definite in [tex](-\infty;0)\cup(0;+\infty)[/tex] ma hanno 2 conclusioni diverse.
Mh, bene, penso di aver capito, tornerò con altri esercizi, non pensare di esserti liberato...
Grazie mille per la pazienza...
Grazie mille per la pazienza...
Scrivimi in privato allora; t'aspetto!
Scusate se mi intrometto ...
A me sembra che la funzione $f(x):=\sqrt{1+\ln(|x|)}$ sia prolungabile a una funzione continua su $RR$. Basta definire
$f(x):=0$ per le $x$ tra $-1/e$ e $1/e$. La funzione così estesa è chiaramente continua su $RR$ dato che
$\lim_{x\to(-1/e)^-}\sqrt{1+\ln(|x|)} =0$ e $\lim_{x\to(1/e)^+}\sqrt{1+\ln(|x|)} =0$.
Altro problema è se tale prolungamento sia unico, cosa che ovviamente è falsa.
O non ho capito il problema?
A me sembra che la funzione $f(x):=\sqrt{1+\ln(|x|)}$ sia prolungabile a una funzione continua su $RR$. Basta definire
$f(x):=0$ per le $x$ tra $-1/e$ e $1/e$. La funzione così estesa è chiaramente continua su $RR$ dato che
$\lim_{x\to(-1/e)^-}\sqrt{1+\ln(|x|)} =0$ e $\lim_{x\to(1/e)^+}\sqrt{1+\ln(|x|)} =0$.
Altro problema è se tale prolungamento sia unico, cosa che ovviamente è falsa.
O non ho capito il problema?
...........................
Ora che ci penso, il mio esercizio subito dopo dice:
Sia g(x) un prolungamento per continuità.........calcolare la derivabilità in quei punti.
Quindi questa funzione è prolungabile
Effettivametne gli unici due punti del dominio sono quelli, il limite è 0 pertanto sarà prolungabile in tutto R.
Ora che ci penso, il mio esercizio subito dopo dice:
Sia g(x) un prolungamento per continuità.........calcolare la derivabilità in quei punti.
Quindi questa funzione è prolungabile
Effettivametne gli unici due punti del dominio sono quelli, il limite è 0 pertanto sarà prolungabile in tutto R.
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