Funzione prolungabile in R
Mi si chiede di stabilire se:
[tex]\sqrt{1+log|x|}[/tex] è prolungabile in R.
Ora, io conosco la definizione di funzione prolungabile, ma è relativa ad un punto dell'insieme, cioè se il limite in quel punto esiste finito ma è diverso dal valore che la funzione assume nel punto allora si dice che la funzione ammette questo punto di discontinuità eliminabile.
Ma come faccio a stabilirlo su R?
domf=[tex]]-\infty,-\frac{1}{e}]U[\frac{1}{e},+\infty[[/tex]
Se non sbaglio..
[tex]\sqrt{1+log|x|}[/tex] è prolungabile in R.
Ora, io conosco la definizione di funzione prolungabile, ma è relativa ad un punto dell'insieme, cioè se il limite in quel punto esiste finito ma è diverso dal valore che la funzione assume nel punto allora si dice che la funzione ammette questo punto di discontinuità eliminabile.
Ma come faccio a stabilirlo su R?
domf=[tex]]-\infty,-\frac{1}{e}]U[\frac{1}{e},+\infty[[/tex]
Se non sbaglio..
Risposte
"ViciousGoblin":
Scusate se mi intrometto ...
A me sembra che la funzione $f(x):=\sqrt{1+\ln(|x|)}$ sia prolungabile a una funzione continua su $RR$. Basta definire
$f(x):=0$ per le $x$ tra $-1/e$ e $1/e$. La funzione così estesa è chiaramente continua su $RR$ dato che
$\lim_{x\to(-1/e)^-}\sqrt{1+\ln(|x|)} =0$ e $\lim_{x\to(1/e)^+}\sqrt{1+\ln(|x|)} =0$.
Altro problema è se tale prolungamento sia unico, cosa che ovviamente è falsa.
O non ho capito il problema?
Io sono completamente d'accordo. Anzi trovo che sia errato dire
"j18eos":Intanto bisognerebbe specificare "prolungabile per continuità": uno potrebbe prolungare una funzione $f$, definita in un sottoinsieme $A$ di $RR$, ad una funzione definita su tutto $RR$ in un modo qualsiasi, e questo chiaramente si può fare sempre. Per esempio si potrebbe richiedere che sia $f(x)=0$ per ogni $x\notin A$.
L'unica affermazione corretta (che ho già scritto) la funzione non è prolungabile in quanto NON definita in un intervallo.
Ma anche sorvolando su questo punto, non si capisce perché fissarsi con gli intervalli. Per esempio la funzione che ad ogni $x\inQQ$ associa $f(x)=0$ non sarebbe prolungabile per continuità su tutto $RR$? No, anzi il prolungamento è anche unico ed è la funzione identicamente nulla.
E, estremizzando ancora, la funzione definita solo per $x=0$ e che vale $f(x)=0$ non si può prolungare per continuità? Anche qui, direi di no: però ci sono infiniti prolungamenti ($0, x, x^2$ sono alcuni esempi), e questo potrebbe rappresentare un problema.
Riprendo questo post, mi sono rimesso a studiare questa funzione.
Dunque sulla prolungabilità credo avevate ragione, infatti l'esercizio mi chiede:
Verificare se la funzione è prolungabile in R e sia g(x) un prolungamento studiare la derivabilità della f in [tex]x=-\frac{1}{e}[/tex] e [tex]x=\frac{1}{e}[/tex]
Quindi avrei potuto osservare che proprio in quei punti il limite fa 0.
Domdanda, io so che una f è prolungabile in un punto se è discontinua in tale punto e ammette due valolri finiti uguali come limite, ma perchè in questo caso?
Cioè nel dominio quei due punti non sono compresi nell'insieme, sono esclusi, significa che la funzione NON è continua in quei punti?
Perchè a me sembra che il limite in quei punti coincida con il valore che la funzione assume nei punti.......:confused
COmunque, ho sudiato poi la derivabilità e la funzione non mi risulta derivabile in quei punti.
P.S. avrei potuto anche dirlo semplicemente perchè la funzione è definita per ognuno di quei punti solo in un intorno?
E quindi dato che non è definita in un intorno completo dei punti non può essere derivabile perchè non esistono entrambe le derivate destre e sinistre sicuramente, oppure dovevo fare per forza calcoli?
Ultima cosa, nel grafico di questa funzione vi risulta che ci siano asintoti orizzontali?
A me no, però dal grafico che ho visto disegnato non partono proprio dall'alto, ma lateralmente, forse è un' impressione mia...
Dunque sulla prolungabilità credo avevate ragione, infatti l'esercizio mi chiede:
Verificare se la funzione è prolungabile in R e sia g(x) un prolungamento studiare la derivabilità della f in [tex]x=-\frac{1}{e}[/tex] e [tex]x=\frac{1}{e}[/tex]
Quindi avrei potuto osservare che proprio in quei punti il limite fa 0.
Domdanda, io so che una f è prolungabile in un punto se è discontinua in tale punto e ammette due valolri finiti uguali come limite, ma perchè in questo caso?
Cioè nel dominio quei due punti non sono compresi nell'insieme, sono esclusi, significa che la funzione NON è continua in quei punti?
Perchè a me sembra che il limite in quei punti coincida con il valore che la funzione assume nei punti.......:confused
COmunque, ho sudiato poi la derivabilità e la funzione non mi risulta derivabile in quei punti.
P.S. avrei potuto anche dirlo semplicemente perchè la funzione è definita per ognuno di quei punti solo in un intorno?
E quindi dato che non è definita in un intorno completo dei punti non può essere derivabile perchè non esistono entrambe le derivate destre e sinistre sicuramente, oppure dovevo fare per forza calcoli?
Ultima cosa, nel grafico di questa funzione vi risulta che ci siano asintoti orizzontali?
A me no, però dal grafico che ho visto disegnato non partono proprio dall'alto, ma lateralmente, forse è un' impressione mia...
Domdanda, io so che una f è prolungabile in un punto se è discontinua in tale punto e ammette due valolri finiti uguali come limite, ma perchè in questo caso?
Cioè nel dominio quei due punti non sono compresi nell'insieme, sono esclusi, significa che la funzione NON è continua in quei punti?
Perchè a me sembra che il limite in quei punti coincida con il valore che la funzione assume nei punti.......:confused
non ho seguito l'iter di questo topic.
rispondo a questa domanda:
se hai studiato analisi alla scuola superiore, probabilmente hai sentito parlare di punti isolati di discontinuità "eliminabile o di terza specie": si parla in pratica di questo caso. diverse discussioni sulla terminologia sono state fatte sul forum tempo fa (riguardo a punti critici che possono essere definiti o meno punti di discontinuità), comunque se esiste un limite finito di $f(x)$ per $x->c$ ($lim_(x->c)\f(x)=l$), questo vuol dire che i limiti destro e sinistro esistono entrambi, sono finiti ed uguali tra loro ($=l$). se vale questo, vuol dire che in $x=c$, la funzione $f(x)$ o è continua (se $f(c)=l$) oppure (se $f(c)$ non esiste o esiste ma è diverso da $l$) è prolungabile con continuità.
graficamente, significa che tracci una linea continua nell'intorno di $c$ e poi "togli" dalla curva il punto di ascissa $c$.
spero di aver chiarito. ciao.
se hai studiato analisi alla scuola superiore
No purtroppo....all'università solamente.
Il mio dubbio è.
Se alla funzione:
[tex]\sqrt{1+log|x|}[/tex]
Sostituisco [tex]\frac{1}{e}[/tex] il valore della funzione nel punto è 0, che coincide anche con il limite, quindi avrei detto che è continua.
Forse però è discontinua perchè esiste solo il limite destro in quel punto?
P.S. visto e considerato che c'è quel valore assoluto, io nel calcolo di un limite per x<0 potrei scrivere:
limite....di[tex]\sqrt{1+log(-x))}[/tex] perchè tanto la x sarà positiva giusto?
Non è errato perchè la x so che sarà positiva quindi non andrebbe segnato come errore l'aver posto l'argomento del logaritmo a [tex]-x[/tex] vero?
il dominio (soluzione di ${[x != 0],[log|x|>= -1] :}$) è $(-oo,-1/e]uu[1/e,+oo)$.
dunque si tratta di un limite destro (per $x->1/e$; analogamente $lim_(x-> (-1/e)^-)\" "sqrt(1+log(-x))$ l'altro): dunque la funzione è continua a sinistra in $x= -1/e$ e continua a destra in $x=1/e$. non ci si può chiedere se esistono gli altri due limiti (non ha senso cercarli) perché la funzione non è definita nei rispettivi intorni (in particolare non è definita nell'intervallo $(-1/e,1/e)$, che è intorno destro per $-1/e$ e intorno sinistro per $1/e$.
se non l'hai studiato alla scuola superiore non è un "limite", anzi spesso è molto meglio!
dunque si tratta di un limite destro (per $x->1/e$; analogamente $lim_(x-> (-1/e)^-)\" "sqrt(1+log(-x))$ l'altro): dunque la funzione è continua a sinistra in $x= -1/e$ e continua a destra in $x=1/e$. non ci si può chiedere se esistono gli altri due limiti (non ha senso cercarli) perché la funzione non è definita nei rispettivi intorni (in particolare non è definita nell'intervallo $(-1/e,1/e)$, che è intorno destro per $-1/e$ e intorno sinistro per $1/e$.
se non l'hai studiato alla scuola superiore non è un "limite", anzi spesso è molto meglio!
Va benissimo...
Allora sempre a proposito della prolungabilità, vorrei chiedere due altre cose a conferma di altri due miei esercizi.
Se mi si chiede di verificare se le funzioni qui di seguito siano prolungabili in R per continuità:
1)[tex]\frac{sin(x-1)(e^x-1)}{x^2-x}[/tex]
2)[tex]\frac{sin(x-1)}{x^2-1}[/tex]
3)[tex]e^{-\frac{1}{x^2}[/tex]
Allora la prima ha come dominio:
[tex]]-\infty,01,+\infty[[/tex]
E mi risulta prolungabile in R, in particolare la legge cambierà e sarà di un tipo se [tex]x\neq0,x\neq1[/tex]
Un' altra se [tex]x=0[/tex] e ancora una se [tex]x=1[/tex]
Per la seconda dominio:
[tex]]-\infty,-11,+\infty[[/tex]
Però non trovo un valore finito nel limite a -1.
Quindi potrei già da questo dire che la funzione non prolungabile per continuità in R?
L'ultima mi risulta prolungabile con una legge se la x è diversa da 0, altrimenti varrà 0 per x=0.
Allora sempre a proposito della prolungabilità, vorrei chiedere due altre cose a conferma di altri due miei esercizi.
Se mi si chiede di verificare se le funzioni qui di seguito siano prolungabili in R per continuità:
1)[tex]\frac{sin(x-1)(e^x-1)}{x^2-x}[/tex]
2)[tex]\frac{sin(x-1)}{x^2-1}[/tex]
3)[tex]e^{-\frac{1}{x^2}[/tex]
Allora la prima ha come dominio:
[tex]]-\infty,01,+\infty[[/tex]
E mi risulta prolungabile in R, in particolare la legge cambierà e sarà di un tipo se [tex]x\neq0,x\neq1[/tex]
Un' altra se [tex]x=0[/tex] e ancora una se [tex]x=1[/tex]
Per la seconda dominio:
[tex]]-\infty,-11,+\infty[[/tex]
Però non trovo un valore finito nel limite a -1.
Quindi potrei già da questo dire che la funzione non prolungabile per continuità in R?
L'ultima mi risulta prolungabile con una legge se la x è diversa da 0, altrimenti varrà 0 per x=0.
alt, prima che vai oltre:
se i domini fossero quelli che hai scritti, sarebbe un po' dura prolungarle in $RR$ ...
se i domini fossero quelli che hai scritti, sarebbe un po' dura prolungarle in $RR$ ...
Perchè? non capisco....ho sbagliato i domini?
Non mi sembra......
Non mi sembra......
sì, sono entrambi $RR " meno i due valori che annullano il denominatore"$
Ah bene, allora tu dici che il dominio è corretto, e che se i domini sono quelli è un pò dura prolungarle per continuità in R.
Ora mi viene il dubbio, forse posso verificare che una funzione sia prolungabile in R se il dominio assume una forma come quella dell'ultima funzione che ho proposto il cui dominio è:
[tex]]-\infty,00,+\infty[[/tex]
Se invece ho un dominio come quegli altri dato che la funzione è definita solo in un intorno laterale dei punti agli estremi del dominio, non può essere prolungabile.
Quindi non è prolungabile per le prime due funzioni per questo motivo forse.
Per l'ultima dovrebbe essere prolungabile.....
Ora mi viene il dubbio, forse posso verificare che una funzione sia prolungabile in R se il dominio assume una forma come quella dell'ultima funzione che ho proposto il cui dominio è:
[tex]]-\infty,00,+\infty[[/tex]
Se invece ho un dominio come quegli altri dato che la funzione è definita solo in un intorno laterale dei punti agli estremi del dominio, non può essere prolungabile.
Quindi non è prolungabile per le prime due funzioni per questo motivo forse.
Per l'ultima dovrebbe essere prolungabile.....
come fai a dire che il dominio è corretto?
forse dell'ultima funzione ...
ora, quel nuovo dominio che hai scritto è $RR-{0}$: sì, questo è corretto se si riferisce alla terza funzione.
forse dell'ultima funzione ...
"Darèios89":
Va benissimo...
Allora sempre a proposito della prolungabilità, vorrei chiedere due altre cose a conferma di altri due miei esercizi.
Se mi si chiede di verificare se le funzioni qui di seguito siano prolungabili in R per continuità:
1)[tex]\frac{sin(x-1)(e^x-1)}{x^2-x}[/tex]
2)[tex]\frac{sin(x-1)}{x^2-1}[/tex]
3)[tex]e^{-\frac{1}{x^2}[/tex]
Allora la prima ha come dominio:
[tex]]-\infty,01,+\infty[[/tex] tu hai eliminato da $RR$ tutto l'intervallo $[0,1]$, invece il dominio è $RR - {0,1}$, che nell'altro modo si scrive $(-oo,0)uu(0,1)uu(1,+oo)$
E mi risulta prolungabile in R, in particolare la legge cambierà e sarà di un tipo se [tex]x\neq0,x\neq1[/tex]
Un' altra se [tex]x=0[/tex] e ancora una se [tex]x=1[/tex]
Per la seconda dominio:
[tex]]-\infty,-11,+\infty[[/tex] anche qui hai eliminato tutto l'intervallo [-1,1], invece andavano tolti da R solo -1 e 1
Però non trovo un valore finito nel limite a -1.
Quindi potrei già da questo dire che la funzione non prolungabile per continuità in R?
L'ultima mi risulta prolungabile con una legge se la x è diversa da 0, altrimenti varrà 0 per x=0.
ora, quel nuovo dominio che hai scritto è $RR-{0}$: sì, questo è corretto se si riferisce alla terza funzione.
SI hai ragione....non so come abbia fatto.....comunque ti riferivi a questo?
Cioè che non potevo pretendere di studiarne il prolungamento perchè era sbagliato il dominio?
Per come abbiamo..oops...hai chiarito...posso studiare la prolungabilità per continuità in R di tutte e tre.
Posso farlo da solo...qualche altro dubbio.
1) Ci sono casi in cui possa dire dal dominio che una funzione non è prolungabile in R?
se un dominio fosse del tipo :[tex]]-\infty,11,+\infty[[/tex]
Posso cimentarmi nel verificare che sia prolungabile giusto?
Se invece ho [tex]]-\infty,010,+\infty[[/tex]
Dato che non è definita in alcuni intervalli potei dire che non è sicuramente prolungabile?
Insomam ho dei dubbi se devo verificarlo sempre quando mi si chieda o se possa accorgermente dal dominio che senza fare calcoli non sia prolungabile in R
Per l'ultima funzione si era quella a cui mi riferivo.
Cioè che non potevo pretendere di studiarne il prolungamento perchè era sbagliato il dominio?
Per come abbiamo..oops...hai chiarito...posso studiare la prolungabilità per continuità in R di tutte e tre.
Posso farlo da solo...qualche altro dubbio.
1) Ci sono casi in cui possa dire dal dominio che una funzione non è prolungabile in R?
se un dominio fosse del tipo :[tex]]-\infty,11,+\infty[[/tex]
Posso cimentarmi nel verificare che sia prolungabile giusto?
Se invece ho [tex]]-\infty,010,+\infty[[/tex]
Dato che non è definita in alcuni intervalli potei dire che non è sicuramente prolungabile?
Insomam ho dei dubbi se devo verificarlo sempre quando mi si chieda o se possa accorgermente dal dominio che senza fare calcoli non sia prolungabile in R
Per l'ultima funzione si era quella a cui mi riferivo.
prolungabile in R in qualche modo lo è sempre. basta attribuire valori arbitrari a tutti quei punti che non fanno parte del dominio.
però si parla di "prolungabile con continuità" se già la funzione è continua in ogni punto del dominio e, in punti isolati in cui non è definita, ammette limite finito: basta attribuire come valore della funzione proprio il limite.
ad esempio la funzione $f(x)=(x^2+x-2)/(x-1)$ non è definita in $x=1$ ma $lim_(x->1)\f(x) = 3$. dunque basta scrivere
$g(x)={[(x^2+x-2)/(x-1)" if "x != 1],[3" if "x=1] :}$ ovvero $g(x)=x+2$ sapendo che $f(x)=x+2" con " x != 1$: ricorda che $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$
dunque, se hai un dominio del primo tipo, la funzione è prolungabile con continuità se, oltre ad essere continua per ogni punto del dominio, ammette limite finito per $x->1$
la seconda, se vogliamo, è prolungabile con continuità, a patto che siano finiti $lim_(x->0^-)$ e $lim_(x->10^+)$. basta prendere i rispettivi valori per $x=0$ e $x=10$ e poi prendere un "pezzo" di funzione continua in [0,10]: ma non è questo che di solito si intende per prolungamento con continuità.
però si parla di "prolungabile con continuità" se già la funzione è continua in ogni punto del dominio e, in punti isolati in cui non è definita, ammette limite finito: basta attribuire come valore della funzione proprio il limite.
ad esempio la funzione $f(x)=(x^2+x-2)/(x-1)$ non è definita in $x=1$ ma $lim_(x->1)\f(x) = 3$. dunque basta scrivere
$g(x)={[(x^2+x-2)/(x-1)" if "x != 1],[3" if "x=1] :}$ ovvero $g(x)=x+2$ sapendo che $f(x)=x+2" con " x != 1$: ricorda che $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$
dunque, se hai un dominio del primo tipo, la funzione è prolungabile con continuità se, oltre ad essere continua per ogni punto del dominio, ammette limite finito per $x->1$
la seconda, se vogliamo, è prolungabile con continuità, a patto che siano finiti $lim_(x->0^-)$ e $lim_(x->10^+)$. basta prendere i rispettivi valori per $x=0$ e $x=10$ e poi prendere un "pezzo" di funzione continua in [0,10]: ma non è questo che di solito si intende per prolungamento con continuità.
Uokkey...
Ma...io sapevo che unaf unzione per essere prolungabile, deve avere in un punto finiti entrambi i limiti laterali....
Ma...io sapevo che unaf unzione per essere prolungabile, deve avere in un punto finiti entrambi i limiti laterali....
certo, e dov'è la contraddizione? bisogna vedere che cosa significa "in un punto" nel contesto della frase ...
E quindi se avessi una funzione definita in [tex]]-\infty,110,+\infty[[/tex]
Secondo la definizione dovrei poter a priori dal dominio che la funzione non è prolungabile per continuità in R.
calcolo i limiti la terali ad [tex]x=1,x=10[/tex]
E se esistono finiti diversi dal valore che la funzione asume nel punto allora è prolungabile in R?
Devo calcolarlo anche se non è definita, per 1 dalla destra e 10 dalal sinistra e se succede quello che ho detto sopra dovrebbe essere prolungabile per cont. in R.
Secondo la definizione dovrei poter a priori dal dominio che la funzione non è prolungabile per continuità in R.
calcolo i limiti la terali ad [tex]x=1,x=10[/tex]
E se esistono finiti diversi dal valore che la funzione asume nel punto allora è prolungabile in R?
Devo calcolarlo anche se non è definita, per 1 dalla destra e 10 dalal sinistra e se succede quello che ho detto sopra dovrebbe essere prolungabile per cont. in R.
assolutamente no.
i limiti devono essere uguali se il punto è lo stesso: che c'entra 1 con 10 ?
se $lim_(x->1^-)\f(x)$ è finito, allora è prolungabile con continuità a $x=1$.
analogamente, se $lim_(x->10^+)\f(x)$ è finito, allora è prolungabile con continuità a $x=10$.
in tutto l'intervallo $(1,10)$ esistono infinite funzioni continue: per questo di solito non si tratta il caso di prolungabilità a tutto $RR$ se interi intervalli sono esclusi dal dominio. se volessi farlo, basterebbe prendere una qualsiasi funzione $g(x)$, ben definita e continua in $(1,10)$, tale che $lim_(x->1^+)\g(x)=lim_(x->1^-)\f(x)$ e $lim_(x->10^-)\g(x)$$lim_(x->10^+)\f(x)$. poi, alla nuova funzione $h(x)$, "comprendente" sia f sia g, definita in tutto $RR$, basta che si attribuiscano valori uguali ai rispettivi limiti $AA x in RR$, ed in particolare ti interessa che $h(1)=lim_(x->1^+)\g(x)=lim_(x->1^-)\f(x), h(10)=lim_(x->10^-)\g(x)$$lim_(x->10^+)\f(x)$.
i limiti devono essere uguali se il punto è lo stesso: che c'entra 1 con 10 ?
se $lim_(x->1^-)\f(x)$ è finito, allora è prolungabile con continuità a $x=1$.
analogamente, se $lim_(x->10^+)\f(x)$ è finito, allora è prolungabile con continuità a $x=10$.
in tutto l'intervallo $(1,10)$ esistono infinite funzioni continue: per questo di solito non si tratta il caso di prolungabilità a tutto $RR$ se interi intervalli sono esclusi dal dominio. se volessi farlo, basterebbe prendere una qualsiasi funzione $g(x)$, ben definita e continua in $(1,10)$, tale che $lim_(x->1^+)\g(x)=lim_(x->1^-)\f(x)$ e $lim_(x->10^-)\g(x)$$lim_(x->10^+)\f(x)$. poi, alla nuova funzione $h(x)$, "comprendente" sia f sia g, definita in tutto $RR$, basta che si attribuiscano valori uguali ai rispettivi limiti $AA x in RR$, ed in particolare ti interessa che $h(1)=lim_(x->1^+)\g(x)=lim_(x->1^-)\f(x), h(10)=lim_(x->10^-)\g(x)$$lim_(x->10^+)\f(x)$.
Ok ok.....allora va bene, era diverso da come credevo io, ma...ora ci siamo..thanks..!
you're welcome!
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