Funzione periodica e teorema del calcolo integrale
Buonasera a tutti!
Oggi ho avuto l'esame di Analisi 1 e un esercizio proprio non mi è riuscito...potete aiutarmi?grazie in anticipo!!!
Sia $f: R->R$ una funzione periodica di periodo $p1$ e continua sui reali:
1) Si dimostri che $f$ è limitata.
2) a- Supponendo che $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) dt$ sia periodica, di periodo $p2$ si puo dire qualcosa sul valore di
$\int_{0}^{p2} f(t) dt=?$
b- E' vero che anche la $f$ deve essere necessariamente di periodo $p2$?
Risposte
tu come li risolveresti?
Dai, prova almeno a risolvere il primo. Ti dò un suggerimento sotto forma di un nome: Weierstrass.
Se $f(x)$ è periodica vuol dire che preso in considerazione un intervallo del suo dominio grande quanto un periodo in questo intervallino $f(x)$ assumerà per il teorema di Weiestrass un massimo e un minimo che non saranno assoluti perchè verranno raggiunti infinite volte dala funzione, una volta in ogni periodo, quindi è limitata tra il suo massimo e il suo minimo. Ma questa dimostrazione è troppo intuitiva e probabilmente sbagliata..
Inoltre 2-b non necessariamente perchè $sen(x)$ ha come primitaiva $cos(x)+c$ ma queste sono due funzioni peiodiche con perodi diversi, ${0;2\pi}$&{-pi;pi}$ .
Inoltre 2-b non necessariamente perchè $sen(x)$ ha come primitaiva $cos(x)+c$ ma queste sono due funzioni peiodiche con perodi diversi, ${0;2\pi}$&{-pi;pi}$ .
${pi;pi}$
che ne dite?...
La dimostrazione del fatto che le funzioni continue e periodiche sono limitate è corretta. Solo una cosa: va bene, i minimi e i massimi non sono assoluti, ma che ce ne frega...? L'importante è che la funzione sia limitata, e lo è.
L'esempio del punto 2b, invece, non va bene. $sin$ e $cos$ hanno entrambe periodo $2pi$. Ma prova a risolvere prima il punto a). Ti faccio notare che di una funzione integrale definita come al punto a) tu conosci sicuramente il valore per $x="un punto particolare"$. Qual'è questo "punto particolare"?
L'esempio del punto 2b, invece, non va bene. $sin$ e $cos$ hanno entrambe periodo $2pi$. Ma prova a risolvere prima il punto a). Ti faccio notare che di una funzione integrale definita come al punto a) tu conosci sicuramente il valore per $x="un punto particolare"$. Qual'è questo "punto particolare"?
è il punto medio?
x il teorema del valor medio...e quindi divide il periodo in due...
Ma no, punto medio di cosa? Pensa un attimo a quello che succede per $x=0$.
e allora l'integrale di prima è 0... perchè $\int_{0}^{p2} f(t) dt$=$\int_{0}^{x} f(t) dt$+$\int_{x}^{p2} f(t) dt$=$\int_{0}^{x} f(t) dt$-$\int_{0}^{x} f(t) dt$
perchè $f(0)=f(p2)$
perchè $f(0)=f(p2)$
se $x=0$ l'integrale è $0$
Si è giusto... $int_0^(p_2)f(t)dt=int_0^0f(t)dt=0$. Ma questo non perché $f(0)=f(p_2)$ però. Tu di $f$ non sai niente. Quello che sai è che $F$, definita come $F(x)=int_0^xf(t)dt$, è periodica. Ti è chiaro questo fatto?
no
Allora te lo spiego io. Consideriamo questa funzione $F(x)=int_0^xf(t)dt$. La traccia dell'esercizio ci dice: calcolare $F(p_2)$. Giusto? Ma ci dice anche che $F$ è $p_2$-periodica. Quindi invece di calcolare $F(p_2)$, che non sapremmo fare, possiamo calcolare $F(0)$. Infatti, essendo $F$ $p_2$-periodica abbiamo che $F(0)=F(0+p_2)=F(p_2)$. E noi sappiamo calcolare $F(0)$, che fa zero perché è un integrale con i due estremi uguali.
Chiaro?
Chiaro?
I massimi e minimi di cui si parlava sono assoluti (o globali).
Ad esempio, una funzione costante ha massimo e minimo assoluto in ogni punto.
Semmai il "problema" è che non saranno massimi stretti (o punti di massimo stretto). Idem per i minimi.
Ad esempio, una funzione costante ha massimo e minimo assoluto in ogni punto.
Semmai il "problema" è che non saranno massimi stretti (o punti di massimo stretto). Idem per i minimi.
Giusto, quoto Fioravante. Mi sono confuso anche io.
siiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii!!!!!!!!!!!!!!!!!c'ero arrivata ma nel modo sbagliato... ma se come abbiamo detto l'integrale a estremi uguali fa 0 e $F(0)=F(0+p2)=F(p2)$ se $f$ non fosse stata periodica l'integrale sarebbe stato comunque tra estremi uguali e quindi $0$ ma questo non c'entra con l'ultima domanda, io penso che derivata di una funzione deve essere neessariamente periodica con stesso periodo...ma se si perchè?
scusate l'errore 
"bimba":
siiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii!!!!!!!!!!!!!!!!!c'ero arrivata ma nel modo sbagliato... ma se come abbiamo detto l'integrale a estremi uguali fa 0 e $F(0)=F(0+p2)=F(p2)$ se $f$ non fosse stata periodica l'integrale sarebbe stato comunque tra estremi uguali e quindi $0$ ma questo non c'entra con l'ultima domanda, io penso che derivata di una funzione deve essere neessariamente periodica con stesso periodo...ma se si perchè?
[:-) Capisco che tu sia contenta, e detesto fare il professorino, ma ti invito ad esprimerti meglio. Se uno si esprime bene, ti garantisco che ha già risolto il 25% di ogni problema.]
Ora veniamo al punto 2b. Io penserei alla definizione stessa di derivata.
P.S.: Però adesso devo andare a dormire! abbi pazienza, domani ho una giornata pesante. Pensaci, se hai dei dubbi io ne posso riparlare domani. Buonanotte!
Beh? Non hai ancora risolto? Guarda che pensando al fatto che $f$ è la derivata di $F$, hai già fatto la parte più difficile dell'esercizio. Ti resta solo una piccola verifica facile facile.
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