Funzione limitata superiormente o inferiormente
Buongiorno a tutti.
Mi sto preparando per un esame e su uno dei compiti di prova ho questa domanda.
Data una funzione \(f \colon ] -\infty ; 0 ] \to [ 0 ; + \infty [ \) si può affermare che:
a. essa è inferiormente limitata
b. essa è superiormente limitata
c. essa ammette massimo e minimo
Domanda.
Come faccio a scegliere tra uno delle tre opzioni se non so come la funzione trasforma gli elementi del dominio?
Io ho solo dominio e codominio.
O sbaglio?
Grazie
Mi sto preparando per un esame e su uno dei compiti di prova ho questa domanda.
Data una funzione \(f \colon ] -\infty ; 0 ] \to [ 0 ; + \infty [ \) si può affermare che:
a. essa è inferiormente limitata
b. essa è superiormente limitata
c. essa ammette massimo e minimo
Domanda.
Come faccio a scegliere tra uno delle tre opzioni se non so come la funzione trasforma gli elementi del dominio?
Io ho solo dominio e codominio.
O sbaglio?
Grazie
Risposte
Ciao Spadino Robbiati, benvenuto sul forum!
Sì, non hai un'espressione esplicita di $f$; tuttavia, sai che l'immagine di una funzione è sempre un sottoinsieme del codominio della funzione stessa. Quindi?
Sì, non hai un'espressione esplicita di $f$; tuttavia, sai che l'immagine di una funzione è sempre un sottoinsieme del codominio della funzione stessa. Quindi?
Ciao Mephlip.
Io come esempio di funzione con dominio e codominio come quelli della traccia mi sono fatto l'iperbole equilatera con coefficiente negativo ristretta al secondo quadrante.
E non ha massimo, non ha minimo e non è limitata.
Io come esempio di funzione con dominio e codominio come quelli della traccia mi sono fatto l'iperbole equilatera con coefficiente negativo ristretta al secondo quadrante.
E non ha massimo, non ha minimo e non è limitata.
"Spadino Robbiati":
e non è limitata.
Sì, è vero che non è limitata. Ma in nessuna delle possibili scelte da te riportate compare "limitata"
. Quindi, il tuo controesempio non è valido.Inoltre, che l'iperbole equilatera con coefficiente negativo ristretta a $]-\infty,0]$ non abbia minimo dipende da come la hai definita in $x=0$. Se la definisci $0$ in $x=0$, allora il minimo ce l'ha eccome. In ogni caso, certamente non ha massimo e minimo essendo superiormente illimitata.
Non riesco a seguirti.
Io quello che penso è che la domanda è fatta male: nel senso che come è fatta non si può stabilire né se la funzione è limitata superiormente né se è limitata inferiormente né se ha massimo e/o minimo.
Io quello che penso è che la domanda è fatta male: nel senso che come è fatta non si può stabilire né se la funzione è limitata superiormente né se è limitata inferiormente né se ha massimo e/o minimo.
No, la domanda è ben posta. Secondo me, la confusione che hai è dovuta al fatto che non hai completamente assorbito le differenze tra le definizioni di "funzione limitata" e "funzione limitata superiormente/inferiormente". Prova a ripassarle.
Se vuoi una conferma di quanto ti dico, prova a disegnare l'iperbole equilatera ristretta a $]-\infty,0]$ da te proposta: non può mai essere negativa, quindi certamente non è illimitata inferiormente perché $0$ la limita dal basso. Quindi, come vedi, il tuo esempio non esclude che (a) possa verificarsi.
Con: "Dipende come la definisci in $x=0$" volevo dire che la funzione $f$, per ipotesi, ha dominio $]-\infty,0]$ e quindi lo $0$ è incluso. L'iperbole equilatera non è definita in $0$ (perché divideresti per $0$), ma dato che $0$ è nel dominio della funzione $f$ significa che devi assegnare un valore della funzione anche nel punto $x=0$. Perciò, per $x<0$ puoi considerare l'iperbole equilatera ma per $x=0$ devi scegliere un valore $f(0)$ nel codominio $[0,\infty[$. Se definisci $f(0)$ in modo che sia $f(0)>0$ (dato che il codominio di $f$ è $[0,\infty[$ segue che $f$ è non negativa), ad esempio $f(0)=1/2$, allora $f$ non ha minimo, intuitivamente perché per $x \to -\infty$ la funzione si schiaccia verso $0$ e quindi va sotto qualsiasi numero positivo arbitrario. Tuttavia, se invece definisci $f(0)=0$ hai che $f(x) \ge 0$ per ogni $x \in ]-\infty, 0]$ (sempre a causa del suo codominio) ma in questo caso è $f(0)=0$. Se vai a rivedere la definizione di minimo, ciò significa che $0$ è punto di minimo di $f$ in $]-\infty,0]$.
Se vuoi una conferma di quanto ti dico, prova a disegnare l'iperbole equilatera ristretta a $]-\infty,0]$ da te proposta: non può mai essere negativa, quindi certamente non è illimitata inferiormente perché $0$ la limita dal basso. Quindi, come vedi, il tuo esempio non esclude che (a) possa verificarsi.
Con: "Dipende come la definisci in $x=0$" volevo dire che la funzione $f$, per ipotesi, ha dominio $]-\infty,0]$ e quindi lo $0$ è incluso. L'iperbole equilatera non è definita in $0$ (perché divideresti per $0$), ma dato che $0$ è nel dominio della funzione $f$ significa che devi assegnare un valore della funzione anche nel punto $x=0$. Perciò, per $x<0$ puoi considerare l'iperbole equilatera ma per $x=0$ devi scegliere un valore $f(0)$ nel codominio $[0,\infty[$. Se definisci $f(0)$ in modo che sia $f(0)>0$ (dato che il codominio di $f$ è $[0,\infty[$ segue che $f$ è non negativa), ad esempio $f(0)=1/2$, allora $f$ non ha minimo, intuitivamente perché per $x \to -\infty$ la funzione si schiaccia verso $0$ e quindi va sotto qualsiasi numero positivo arbitrario. Tuttavia, se invece definisci $f(0)=0$ hai che $f(x) \ge 0$ per ogni $x \in ]-\infty, 0]$ (sempre a causa del suo codominio) ma in questo caso è $f(0)=0$. Se vai a rivedere la definizione di minimo, ciò significa che $0$ è punto di minimo di $f$ in $]-\infty,0]$.
Boh, a me non sembra mal posta
Secondo me non è necessario cercare di immaginarsi delle funzioni, magari chiarirsi le parole chiave
Limitata inferiormente/superiormente
Massimo/minimo
Secondo me non è necessario cercare di immaginarsi delle funzioni, magari chiarirsi le parole chiave
Limitata inferiormente/superiormente
Massimo/minimo
No. Non ti trovi.
Devi prima ripassare bene e poi ti rispondiamo perché così è inutile: non stai capendo.
Abbi bontà: ci aggiorniamo dopo.
Tu non sai manco le definizioni.
Devi prima studiare bene.
Devi prima ripassare bene e poi ti rispondiamo perché così è inutile: non stai capendo.
Abbi bontà: ci aggiorniamo dopo.
Tu non sai manco le definizioni.
Devi prima studiare bene.
Stavo scrivendo mentre rispondeva mephilp...
Si ma stai calmo GD.
Scusami se non sono al tuo livello.
Scusami se non sono al tuo livello.
Non intendevo aggredirti.
Mi scuso se ho dato questa impressione.
Intendevo solo sottolineare l'ovvio: non ti trovi perché non conosci bene le definizioni.
Mi scuso se ho dato questa impressione.
Intendevo solo sottolineare l'ovvio: non ti trovi perché non conosci bene le definizioni.
Si, vabbè...
Lasciamo stare.
Non ho chiesto niente.
Lasciamo stare.
Non ho chiesto niente.
Rifletti sul codominio.
Ripeto a Spadino che mi spiace per il malinteso.
Ripeto anche il mio consiglio: deve ripassare bene dall'inizio perché è proprio la definizione che gli fa difetto.
Ripeto anche il mio consiglio: deve ripassare bene dall'inizio perché è proprio la definizione che gli fa difetto.
"Spadino Robbiati":
Si, vabbè...
Lasciamo stare.
Non ho chiesto niente.
È che è più facile del previsto,è per questo che ti confondi
Cosa vuol dire limitata inferiormente?
Che non può andare SOTTO un certo valore
Se gli elementi di ARRIVO (il secondo insieme) della tua funzione vanno da 0 a infinito vuol dire che possono essere grandi quanto vuoi, ma che non possono scendere sotto 0
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