Funzione inversa, come si procede?

[djmustaccio]

salve a tutti, sto affrontando un nuovo argomento di Analisi Matematica 1 e mi sono imbattuto nella determinazione delle funzioni inverse e devo dire la verità sono un pò incasinato.
allora io ho la seguente funzione $ f(x)= 1/(x-1-sqrt(25-x^2) ) $.
mi viene chiesto di calcolare $ f^-1 ((0 , +oo )) $ (fra zero e più infinito dovrebbe comparire una virgola, ma non capisco perché non c'è)
ecco qui mi blocco non so come procedere e spero che qualcuno possa aiutarmi.
grazie anticipatamente!

[salvozungri]

Prima di procedere, sai cos'è la controimmagine di una funzione? Mi sapresti scrivere la definizione?

[djmustaccio]

certo, una volta definito l'immagine di A(dominio) $f(A)$ come l'insieme degli elementi del codominio (B) a cui corrisponde almeno un elemento del dominio (A), si definisce controimmagine di B(codominio) $f^-1 (B)$ l'insieme degli elementi del dominio (A) a cui corrisponde almeno un elemento del codominio (A)
ovvero
$ f(A)={y in B : EE x in A : f(x)=y } $

$ f^-1(B)={x in A : f(x) in B } $

[salvozungri]

Ok, adesso scrivi

[tex]f^{-1}((0,+\infty))[/tex] dove [tex]f(x)[/tex] è la tua funzione mentre [tex]A=\text{dom}(f)[/tex] il suo dominio. Da ciò cosa deduci?

[djmustaccio]

che $(0, +\infty)$ è il codominio della funzione e che $f(x)$ deve appartenere a $(0, +\infty)$

[salvozungri]

Non esattamente, il codominio della funzione è [tex]\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\}[/tex], ma la seconda parte del messaggio è corretta.

In pratica

[tex]f^{-1}((0,+\infty))[/tex] è l'insieme degli elementi di [tex]A[/tex](dominio di [tex]f[/tex]) tali che [tex]f(x)\in(0, +\infty)[/tex]. Ora la scrittura [tex]f(x)\in(0, +\infty)[/tex] è equivalente ad un'altra più funzionale, mi sai dire quale?

[djmustaccio]

no, non saprei...

[salvozungri]

Aaargh per questo dovrai fare penitenza . Scherzo .
[tex]f(x)\in (0,+\infty)\iff f(x)>0[/tex] di conseguenza.. che dobbiamo fare?

[djmustaccio]

ecco!!! (l'avevo immaginato, ma avevo paura di dire una sciocchezza)
e allora adesso bisogna calcolare la positività della funzione?!?!

[salvozungri]

Certo che sì.

[tex]f^{-1}((0, +\infty))[/tex] è costituito da tutti gli elementi del dominio tali che [tex]f(x)>0[/tex]. In pratica ti sta chiedendo di risolvere una disequazione.

La penitenza : scrivi per bene la risoluzione dell'esercizio (così vediamo se hai capito ).

[salvozungri]

Una precisazione necessaria:
Siano [tex]f:A\to B[/tex] una funzione, [tex]B_1\subseteq B[/tex] un sottoinsieme di [tex]B[/tex], diremo che l'insieme [tex]f^{-1}(B_1)\subseteq A[/tex] definito da [tex]f^{-1}(B_1):= \left\{x\in A : f(x)\in B_1\right\}[/tex] è la "controimmagine di [tex]B_1[/tex] tramite [tex]f[/tex]".
Nel caso in cui [tex]B_1=B[/tex] allora parleremo di "controimmagine di [tex]f[/tex]".

[djmustaccio]

allora... $ f(x)>0 $ quindi $ 1/(x-1-sqrt(25-x^2))>0 $ essendo una disequazione fratta dobbiamo porre, indipendentemente dal segno di partenza, numeratore e denominatore maggiori di zero e considerare il sistema delle soluzioni:

$ { ( 1>0 ),( x-1-sqrt(25-x^2)>0 ):} $ la prima è sempre verificata mentre la seconda è una disequazione irrazionale

risolviamo la seconda:
possiamo riscriverla come $ sqrt(25-x^2)>x-1 $ (disequazione irrazionale riconducibile alla forma $ root n (p(x)) > q(x) $ con indice del radicale pari che si risolve con l'unione di due sistemi $ { ( p(x) >= 0 ),( q(x)<0 ):} uu { ( q(x)>=0 ),( p(x)>[q(x)]^n ):} $ )

quindi

$ { ( 25-x^2 >= 0 ),( x-1<0 ):} uu { ( x-1>=0 ),( 25-x^2>[x-1]^2 ):} $

ora non ci resta che risolvere le disequazioni e andare avanti...Mathematico puoi controllare se fin qui i passaggi sono corretti?

[salvozungri]

"djmustaccio":allora... $ f(x)>0 $ quindi $ 1/(x-1-sqrt(25-x^2))>0 $ essendo una disequazione fratta dobbiamo porre, indipendentemente dal segno di partenza, numeratore e denominatore maggiori di zero e considerare il sistema delle soluzioni:

$ { ( 1>0 ),( x-1-sqrt(25-x^2)>0 ):} $ la prima è sempre verificata mentre la seconda è una disequazione irrazionale

ok fin qui.

"djmustaccio":

risolviamo la seconda:
possiamo riscriverla come $ sqrt(25-x^2)>x-1 $
[...]

Nope, errore fatale, quando si cambia segno membro a membro (o meglio, quando si moltiplica per [tex]-1[/tex] ad ambo i membri), il verso della disuguaglianza si inverte.

[tex]x-1-\sqrt{25-x^2}>0\implies x-1>\sqrt{25-x^2}[/tex] pertanto il sistema equivalente è:


[tex]\begin{cases}x-1 \geq 0 \\
25-x^2\geq 0 \\
25-x^2 < (x-1)^2 \end{cases} \right.[/tex]

Concludi tu ora

[djmustaccio]

si è vero un errore fatale....
ti prego di perdonarmi!!!! ahahahaha
in effetti quando lo stavo risolvendo vedevo che qualcosa non quadrava....

comunque riprendendo la risoluzione

[tex]\begin{cases}x-1\geq0\\
25-x^2\geq0\\
25-x^2<(x-1)^2\end{cases}\right[/tex]

diventa

[tex]\begin{cases}x\geq1\\
x\leq5\\
2x^2+2x+24>0\end{cases}\right[/tex]

risolvendo l'ultima disequazione trovo due radici reali e distinte [tex]x<-3 \cup x>4[/tex]
mettendo tutti i risultati ottenuti abbiamo

[tex]\begin{cases}x\geq1\\
x\leq5\\
x<-3 \cup x>4\end{cases}\right[/tex]

intersecando tutte le soluzioni ottengo che [tex]4
ecco qui dovrebbe essere tutto o c'è dell'altro che dovrei sapere?? Mathematico controlla sempre se ho svolto bene i calcoli... e se ho scritto sciocchezzuole...
grazie infinitamente per avermi aiutato!!!

[salvozungri]

"djmustaccio":si è vero un errore fatale....
ti prego di perdonarmi!!!! ahahahaha
in effetti quando lo stavo risolvendo vedevo che qualcosa non quadrava....

comunque riprendendo la risoluzione

[tex]\begin{cases}x-1\geq0\\
25-x^2\geq0\\
25-x^2<(x-1)^2\end{cases}\right[/tex]

Ok fin qui.

"djmustaccio":
diventa

[tex]\begin{cases}x\geq1\\
x\leq5 \\
2x^2+2x+24>0\end{cases}\right[/tex]

risolvendo l'ultima disequazione trovo due radici reali e distinte [tex]x<-3 \cup x>4[/tex]
mettendo tutti i risultati ottenuti abbiamo

[tex]\begin{cases}x\geq1\\
x\leq5\\
x<-3 \cup x>4\end{cases}\right[/tex]

intersecando tutte le soluzioni ottengo che [tex]4
ecco qui dovrebbe essere tutto o c'è dell'altro che dovrei sapere?? Mathematico controlla sempre se ho svolto bene i calcoli... e se ho scritto sciocchezzuole...
grazie infinitamente per avermi aiutato!!!

Attenzione alla disequazione

[tex]25-x^2\ge 0[/tex], non ha soluzione [tex]x\le 5[/tex]. Se prendi ad esempio [tex]x=-6[/tex] si ha che [tex]25-x^2 = 25-36= -9[/tex] che è minore di zero dunque non soddisfa la disequazione. C'è qualcosa che non va. Rivedi un po'.

Attenzione ai segni

[tex]25-x^2<(x-1)^2\implies 25-x^2-(x-1)^2<0[/tex]
[tex]25-x^2-(x^2-2x+1)<0 \implies -2x^2+2x+24<0[/tex]
[tex]\implies 2x^2-2x-24>0[/tex].

La soluzione è proprio [tex]S=(4, 5][/tex], quindi penso sia stato un errore di digitazione

[djmustaccio]

colpa mia!!:oops: anche [tex]25-{x}^{2} \geq 0[/tex] è una disequazione di secondo grado e la sua soluzione infatti è [tex]-5\leq x \leq 5[/tex] mentre per quanto riguarda l'ultima disequazione....si è vero ho sbagliato a trascrivere i segni, ma l'avevo svolta bene!!!!

[salvozungri]

"djmustaccio":colpa mia!!:oops: anche [tex]25-{x}^{2} \geq 0[/tex] è una disequazione di secondo grado e la sua soluzione infatti è [tex]-5\leq x \leq 5[/tex] mentre per quanto riguarda l'ultima disequazione....si è vero ho sbagliato a trascrivere i segni, ma l'avevo svolta bene!!!!

Meglio così!! Stai più attento la prossima volta, è stato un caso che la soluzione a cui sei giunto coincidesse con quella dell'esercizio (avendo sbagliato l'insieme soluzione di una disequazione del sistema).

Abbiamo scoperto quindi che
[tex]f^{-1}((0, +\infty))= (4, 5][/tex]
Fine.

Sei più tranquillo su questo argomento ora?

[djmustaccio]

Tranquillissimo!!! infatti volevo chiederti se potevamo risolverne un altro insieme...sempre sullo stesso argomento...che ne dici?

[salvozungri]

Vediamo, però voglio vedere una soluzione priva di sbavature. Prima di postare correggi tutto quanto. Insomma la mia risposta dovrà essere solo "Ok!".

[djmustaccio]

ok allora per adesso comincio a postare la traccia...perché fra un po devo andare all'uni.

[tex]f(x)= \log \left(e-{e}^{1\over2(x-1))} \right)[/tex]

devo determinare [tex]{f}^{-1}\left([1,+\infty) \right)[/tex]

ovvero, da quello che abbiamo detto all'inizio del topic, devo trovare quei valori del dominio per cui sia $f(x)>=1$ (in questo caso maggiore uguale perché l'insieme dei valori che devo considerare è [tex][1,+\infty)[/tex])

in pratica devo risolvere la disequazione

[tex]f(x)= \log \left(e-{e}^{1\over2(x-1))} \right) >=1[/tex]


ora devo scappare continuo oggi pomeriggio....

a dopo!!!

[salvozungri]

Esatto! Confido in una soluzione perfetta.