Funzione inversa, come si procede?

[djmustaccio]

salve a tutti, sto affrontando un nuovo argomento di Analisi Matematica 1 e mi sono imbattuto nella determinazione delle funzioni inverse e devo dire la verità sono un pò incasinato.
allora io ho la seguente funzione $ f(x)= 1/(x-1-sqrt(25-x^2) ) $.
mi viene chiesto di calcolare $ f^-1 ((0 , +oo )) $ (fra zero e più infinito dovrebbe comparire una virgola, ma non capisco perché non c'è)
ecco qui mi blocco non so come procedere e spero che qualcuno possa aiutarmi.
grazie anticipatamente!

[djmustaccio]

ehi, ciao Mathematico scusa per il ritardo, ma ho avuto un po da fare in questi giorni!!
comunque, ritornando all'esercizio che ho proposto non riesco a calcolare la disequazione
in pratica quando elimino il logaritmo non riesco ad andare avanti....
[tex]\log \left(e-e^{1\over 2(x-1)}\right)\geq 1[/tex]
siccome la base del logaritmo io procedo per tentativi...
posso riscrivere $1$ come [tex]\log 10^{1}[/tex] (supponendo che la base del logaritmi sia 10) e quindi [tex]\log\left(e-e^{1\over 2(x-1)}\right)\geq \log 10^{1}[/tex]
quindi posso eliminare i logaritmi e procedere con la disequazione [tex]e-e^{1\over 2(x-1)}\geq 10^{1}[/tex]
da qui in poi non so come procedere...

se invece considero $e$ la base del logaritmo posso riscrivere $1$ come [tex]\log e^{1}[/tex]
mi trovo a dover questa disequazione [tex]e-e^{1\over 2(x-1)}\geq e^{1}[/tex] che semplificando diventa [tex]e^{1\over 2(x-1)}\leq 0[/tex]
ora questa disequazione (non verrei dire sciocchezze), ma può essere riscritta come [tex]\ln\left(e^{1\over 2(x-1)}\right)\leq \ln 1[/tex] che posso ancora una volta semplificare ed ottenere [tex]{1\over 2(x-1)}\leq 1[/tex]
risolvendo questa disequazione ottengo che [tex]1\leq 2(x-1)[/tex] e quindi [tex]2x \geq 3[/tex] e quindi [tex]x \geq {3\over2}[/tex] quindi l'insieme delle soluzioni è [tex]S=[{3\over2},+\infty)[/tex]
ti prego non mi punire se ho sbagliato!!!! ahahaha...
poi dopo ho bisogno di chiederti altre informazione su un esercizio simile...a presto...

[salvozungri]

"djmustaccio":ehi, ciao Mathematico scusa per il ritardo, ma ho avuto un po da fare in questi giorni!!
comunque, ritornando all'esercizio che ho proposto non riesco a calcolare la disequazione
in pratica quando elimino il logaritmo non riesco ad andare avanti....
[tex]\log \left(e-e^{1\over 2(x-1)}\right)\geq 1[/tex]
siccome la base del logaritmo io procedo per tentativi...
posso riscrivere $1$ come [tex]\log 10^{1}[/tex] (supponendo che la base del logaritmi sia 10) e quindi [tex]\log\left(e-e^{1\over 2(x-1)}\right)\geq \log 10^{1}[/tex]
quindi posso eliminare i logaritmi e procedere con la disequazione [tex]e-e^{1\over 2(x-1)}\geq 10^{1}[/tex]
da qui in poi non so come procedere...

Con [tex]\log[/tex] generalmente si intende il logaritmo naturale. Supponiamo per ora che il logaritmo sia in base 10. Devi isolare [tex]e^{\frac{1}{2(x-1)}}[/tex] al primo membro, ottenendo:

[tex]e-e^{1\over 2(x-1)}\geq 10^{1}\implies -e^{\frac{1}{2(x-1)}}\ge 10-e[/tex] da cui:
[tex]e^{1\over 2(x-1)}\le e -10[/tex]
Osserva ora che [tex]e-10<0[/tex], ti devi chiedere quando una funzione esponenziale è negativa.

"djmustaccio":
se invece considero $e$ la base del logaritmo posso riscrivere $1$ come [tex]\log e^{1}[/tex]
mi trovo a dover questa disequazione [tex]e-e^{1\over 2(x-1)}\geq e^{1}[/tex] che semplificando diventa [tex]e^{1\over 2(x-1)}\leq 0[/tex]

Già da qui dovresti concludere. Chiediti quando una funzione esponenziale è negativa o comunque non positiva.

"djmustaccio":
ora questa disequazione (non verrei dire sciocchezze), ma può essere riscritta come [tex]\ln\left(e^{1\over 2(x-1)}\right)\leq \ln 1[/tex] che posso ancora una volta semplificare ed ottenere [tex]{1\over 2(x-1)}\leq 1[/tex]
risolvendo questa disequazione ottengo che [tex]1\leq 2(x-1)[/tex] e quindi [tex]2x \geq 3[/tex] e quindi [tex]x \geq {3\over2}[/tex] quindi l'insieme delle soluzioni è [tex]S=[{3\over2},+\infty)[/tex]
ti prego non mi punire se ho sbagliato!!!! ahahaha...
poi dopo ho bisogno di chiederti altre informazione su un esercizio simile...a presto...

Hai commesso un errore:
Se [tex]\alpha>0[/tex]
[tex]e^{f(x)}\leq \alpha[/tex] implicherebbe [tex]f(x)\le \log(\alpha)[/tex], in pratica applichi il logaritmo in base [tex]e[/tex] ad ambo i membri.

Attenzione però:

Se [tex]\alpha=0[/tex] come nel nostro caso, otterresti che:
[tex]e^{f(x)}\leq 0[/tex] implicherebbe [tex]f(x)\le \log(0)[/tex] ma (!!) il logaritmo di zero non è definito, non ha significato, quindi perde di significato anche la disequazione.

Fondamentalmente, è importante ricordare una caratteristica della funzione esponenziale. Mi sai dire quale?

[djmustaccio]

che non è mai minore di zero!
e che quindi in sostanza non ha soluzioni questa disequazione?

[salvozungri]

"djmustaccio":che non è mai minore di zero!

Esatto (meglio dire che non è mai minore o uguale a zero!). Quindi? come concludiamo?


[edit]: Sì, in sostanza la disequazione non ammette soluzioni. Quanto vale [tex]f^{-1}([1, +\infty))[/tex]?

[djmustaccio]

che la disequazione non presenta soluzioni ovvero [tex]S=\emptyset[/tex] !
corretto?

[salvozungri]

Yes, quindi [tex]f^{-1}([1, +\infty))=\emptyset[/tex].

[djmustaccio]

ok!! sempre gentilissimo!
comunque volevo chiederti anche un altra cosa, mi sono trovato ad analizzare questa funzione [tex]\sqrt{x-1} \log{|x-5|}[/tex] dovendo trovare la controimmagine [tex]f^{-1} ((-\infty; 0))[/tex] ho posto la funzione [tex]\sqrt{x-1} \log{|x-5|} < 0[/tex], bene!
per risolvere questa disequazione (che risulta essere il prodotto di due funzioni) metto a sistema [tex]\[\begin{sistema} \sqrt{x-1}>0 \\ \log{|x-5|}>0 \end{sistema}\][/tex]
[edit] dopodiché considererò il grafico delle soluzioni e prenderò i valori "negativi"!

risolvendole singolarmente ho [tex]\[\begin{sistema} x>1 \\ \log{|x-5|}>\log 1 \end{sistema}\][/tex] qui posso considerare [tex]0=\log 1[/tex] ??

[edit] o meglio potrei considerare [tex]e^{\log |x-5|}>e^0[/tex] il che equivale a dire [tex]|x-5|>1[/tex] vero?

[salvozungri]

"djmustaccio":ok!! sempre gentilissimo!
comunque volevo chiederti anche un altra cosa, mi sono trovato ad analizzare questa funzione [tex]\sqrt{x-1} \log{|x-5|}[/tex] dovendo trovare la controimmagine [tex]f^{-1} ((-\infty; 0))[/tex] ho posto la funzione [tex]\sqrt{x-1} \log{|x-5|} < 0[/tex], bene!
per risolvere questa disequazione (che risulta essere il prodotto di due funzioni) metto a sistema [tex]\[\begin{sistema} \sqrt{x-1}>0 \\ \log{|x-5|}>0 \end{sistema}\][/tex]
[edit] dopodiché considererò il grafico delle soluzioni e prenderò i valori "negativi"!

Perchè consideri il grafico delle funzioni? Forse intendi che tabuli i segni?

"djmustaccio":
risolvendole singolarmente ho [tex]\[\begin{sistema} x>1 \\ \log{|x-5|}>\log 1 \end{sistema}\][/tex] qui posso considerare [tex]0=\log 1[/tex] ??

Sì è corretto considerare [tex]0= \log(1)[/tex]

Non so come continui, però sappi che questa scrittura (il sistema) vuol dire che vai a determinare tutti gli x del dominio che rendono positiva sia la funzione [tex]\sqrt{x-1}[/tex] che la funzione [tex]\log{|x-5|}[/tex], di conseguenza il loro prodotto sarà positivo. Spero di aver reso l'idea di quello che intendo.


[edit]:

"djmustaccio":
o meglio potrei considerare [tex]e^{\log |x-5|}>e^0[/tex] il che equivale a dire [tex]|x-5|>1[/tex] vero?

Sì, è la stessa cosa

[djmustaccio]

con grafico delle soluzioni intendevo lo schema che riassume il variare dei segni al variare della x!
in pratica una volta svolte le disequazioni ho ottenuto due soluzioni $x>1$ e $x<4 vv x>6$ che scritte sullo schema dei segni e considerate le soluzioni che danno un segno negativo (poichè il segno della disequazione iniziale e minore di zero) ottengo $x<1 vv 4 ora la seconda parte della soluzione si trova, mentre la prima no!
cos'è che sbaglio?
io una mezza idea ce l'avrei...

[salvozungri]

Oddio scusa, ho letto fischi per fiaschi..

Spero di spiegarlo per bene, la prima cosa da fare è quella di determinare il dominio della funzione in questione, lo lascio a te per esercizio . E' necessario valutare il dominio proprio perchè andremo a manipolare algebricamente gli elementi in gioco. Queste manipolazioni, alle volte, fanno sì che si perda di vista il dominio, pordandoci in errore. Tenere a mente il dominio è sempre cosa buona e giusta.

Studio separatamente i segni delle due funzioni:

La prima
[tex]$\sqrt{x-1}>0\iff x>1$[/tex]. Se [tex]x= 1[/tex] la funzione si annulla, mentre per [tex]x<1[/tex] la funzione non è definita, questo perchè le radici con indice pari sono definite se il radicando è non negativo (in questo caso la manipolazione algebrica ci ha fatto perdere di vista il dominio come puoi vedere tu stesso).

[tex]\log|x-5|>0\iff |x-5|>1[/tex], ciò equivale al sistema:
[tex]\begin{cases}
x-5 < -1 \\
x-5 > 1
\end{cases}[/tex]

La cui soluzione è : [tex](-\infty, 4)\cup(6, +\infty)[/tex]. Pertanto la funzione logaritmica è positiva in [tex](-\infty, 4)\cup(6, +\infty)[/tex], è negativa in [tex](4,5)\cup(5, 6)[/tex]. Il [tex]5[/tex] va escluso perchè la nostra cara funzione in tale valore non esiste, non sa che farci del 5.

Tabuliamo i segni:

[tex]\text{sign}(\sqrt{x-1})\quad.[/tex] 1_____4_______5_____6_________
[tex]\text{sign}(\log|x-5|)[/tex] 1_____4_ _ _ _ _5_ _ _ 6_______

Dalla tabulazione dei segni segue che l'insieme soluzione è [tex](4, 5)\cup (5,6)[/tex]. Ti faccio notare esplicitamente che per [tex]x<1[/tex] non ha senso indagare, questo per questioni di dominio. Spero di essere stato sufficientemente chiaro.
Mi auguro che regga la formattazione

[djmustaccio]

perfetto questo era quello che mi aspettavo infatti considerando il dominio della funzione che prevede soluzioni [tex]\forall x \geq 1 \vee x \neq 5[/tex] le soluzioni minori di 1 non vengono considerate, e a questo punto la domanda sorge spontanea...quindi in entrambe le funzioni analizzate prima abbiamo dimenticato di considerare il dominio...abbiamo fatto un errore?
e poi un altra cosa...dando in pasto a Microsoft Mathematics questa funzione mi porta come risultato $x=1 vv 4

Cita

Segnala

[salvozungri]

"djmustaccio":
perfetto questo era quello che mi aspettavo infatti considerando il dominio della funzione che prevede soluzioni [tex]\forall x \geq 1 \vee x \neq 5[/tex] le soluzioni minori di 1 non vengono considerate, e a questo punto la domanda sorge spontanea...quindi in entrambe le funzioni analizzate prima abbiamo dimenticato di considerare il dominio...abbiamo fatto un errore?

In realtà, abbiamo commesso un errore non considerando il dominio, ma nei casi precedenti, esso non influiva nella risoluzione, siamo stati fortunati . Di solito è la prima cosa che si fa nella risoluzione di un qualsiasi esercizio di matematica. Ripeto: E' sempre cosa buona e giusta determinare e tenere a mente il dominio della funzione .

"djmustaccio":
e poi un altra cosa...dando in pasto a Microsoft Mathematics questa funzione mi porta come risultato [tex]x=1 \cup 4

Uhm, non lo so:

[asvg]xmin=1; xmax=7;
axes();
plot("sqrt(x-1)log(abs(x-5))");[/asvg]

Questo è il grafico della funzione tra 1 e 7. La funzione è sicuramente non definita per [tex]x=5[/tex] quindi non appartiene al dominio, pertanto non può nemmeno appartenere alla controimmagine di un insieme tramite la funzione... Quest'ultima infatti è contenuto nel dominio.

Non ti fidare dei risultati dei calcolatori, bisogna saperli interpretare.

[djmustaccio]

perfetto...allora non dimenticherò mai di considerare il dominio!!!!
ti ringrazio molto!!!! continuerò ad esercitarmi e puoi essere certo che se ho bisogno di un aiutino ti contatterò!!
mi sei stato di grande aiuto...

ps: quale software matematico hai utilizzato per il grafico della funzione?

[salvozungri]

Prego

Ho usato il programma del forum, ti rimando alla pagina:
http://www.matematicamente.it/forum/come-si-disegnano-i-grafici-con-asciisvg-t26628.html

[djmustaccio]

grazie mille! a presto