Funzione inversa

[stex85]

Salve a tutti vorrei capire la condizione sufficiente per il quale esiste la funzione inversa e la condizione necessaria per il quale esiste la funzione inversa.

Penso di aver capito, ma datemi conferma:

Condizione sufficiente:
Una funzione è invertibile se e solo se è biettiva.

Condizione necessaria:
Una funzione è invertibile se è strettamente monotona.

Su quest' ultima definizione vorrei capire una cosa: Quando andiamo a vedere se una funzione è invertibile con la condizione necessaria come faccio a dire per certo che esiste l'inversa non applicando la condizione sufficiente?

[Gi81]

"stex85":Condizione sufficiente:
Una funzione è invertibile se e solo se è biettiva.

Questa non è una condizione sufficiente. E' una condizione necessaria e sufficiente.
Cioè, se prendiamo una generica funzione $f$, si ha che:
1) $f$ è invertibile $=> f$ è biiettiva
2) $f$ è biiettiva $=> f$ è invertibile

"stex85":Condizione necessaria:
Una funzione è invertibile se è strettamente monotona.

Questa invece è una condizione sufficiente.
Cioè affinchè $f$ sia invertibile è sufficiente che $f$ sia monotona.
Ma non è necessario che $f$ sia monotona per avere $f$ invertibile (ci sono infatti funzioni invertibili che non sono monotone).

Ok?

[stex85]

"Gi8":[quote="stex85"]Condizione sufficiente:
Una funzione è invertibile se e solo se è biettiva.

Questa non è una condizione sufficiente. E' una condizione necessaria e sufficiente.
Cioè, se prendiamo una generica funzione $f$, si ha che:
1) $f$ è invertibile $=> f$ è biiettiva
2) $f$ è biiettiva $=> f$ è invertibile

"stex85":Condizione necessaria:
Una funzione è invertibile se è strettamente monotona.

Questa invece è una condizione sufficiente.
Cioè affinchè $f$ sia invertibile è sufficiente che $f$ sia monotona.
Ma non è necessario che $f$ sia monotona per avere $f$ invertibile (ci sono infatti funzioni invertibili che non sono monotone).
[/quote]

primo punto
Quindi vediamo se ho capito bene dalla logica :
condizione necessaria e sufficiente <=>

1) $f$ è invertibile $=> f$ è biiettiva
2) $f$ è biiettiva $=> f$ è invertibile

quindi posso dire che :

f è invertibile se e solo se f è biettiva
oppure
f è biettiva se e solo se f è invertibile

secondo punto

Se f è monotona allora f è invertibile

giusto?

[Gi81]

Sì. Strettamente monotona
L'avevi già scritto prima:

"stex85":Una funzione è invertibile se è strettamente monotona