Funzione iniettiva, suriettiva e biettiva
Ciao a tutti, ho problemi nella risoluzione di questi tipi di esercizi
$ f(n):={ ( \frac{n^2}{4}-3n+9 \\se\\n\\è\\pari) ,( \frac{n+3}{2}\\se\\n\\è\\dispari ):} $
dalle definizioni so che una funzione è iniettiva se comunque presi $ a, a' $ con $ a!= a' $ si ha $ f(a) != f(a') $ , mentre una funzione è suriettiva se $ AA b \in B EE a \in A $ t.c. $ f(a)=b $ . Se una funzione è sia iniettiva che suriettiva allora è anche biettiva, quindi in questi esercizi dovrei limitarmi a osservare l'iniettività riettività e la suriettività della funzione.
Se io prendo diversi valori di a e a', ad esempio a=3 e a'=5 per n dispari mi vengano due valori diversi, quindi sarei portato a dire che la funzione è iniettiva, ma la soluzione del compito riporta a=4 e a'=8 e per n pari quindi viene lo stesso valore della f, che è 1. Quindi la mia domanda è, come posso valutare l'iniettività e la suriettività di questo tipo di esercizi senza prendere valori random di a e a'?
Grazie a tutti...
$ f(n):={ ( \frac{n^2}{4}-3n+9 \\se\\n\\è\\pari) ,( \frac{n+3}{2}\\se\\n\\è\\dispari ):} $
dalle definizioni so che una funzione è iniettiva se comunque presi $ a, a' $ con $ a!= a' $ si ha $ f(a) != f(a') $ , mentre una funzione è suriettiva se $ AA b \in B EE a \in A $ t.c. $ f(a)=b $ . Se una funzione è sia iniettiva che suriettiva allora è anche biettiva, quindi in questi esercizi dovrei limitarmi a osservare l'iniettività riettività e la suriettività della funzione.
Se io prendo diversi valori di a e a', ad esempio a=3 e a'=5 per n dispari mi vengano due valori diversi, quindi sarei portato a dire che la funzione è iniettiva, ma la soluzione del compito riporta a=4 e a'=8 e per n pari quindi viene lo stesso valore della f, che è 1. Quindi la mia domanda è, come posso valutare l'iniettività e la suriettività di questo tipo di esercizi senza prendere valori random di a e a'?
Grazie a tutti...
Risposte
Ciao. Non so se sono in grado di dare una risposta esaustiva per la quale forse è meglio aspettare qualcuno più esperto di me, ma intanto lascia perdere i tentativi di dimostrare una proprietà facendo esempi random: il fatto che scegliendo a caso un certo $a$ ed un altro $a'$ ti risulti $f(a)!= f(a')$ non implica che sia vero per tutte le altre infinite coppie $a, a'$. Altrimenti detto, con un esempio non dimostri che una proprietà è vera, tutt'al più puoi dimostrare che è falsa.
In questo caso, se consideri la parabola: $y(x)=1/4 x^2 -3x+9$ , vedi che ha per asse di simmetria la retta $x=6$, vale a dire che per tutte le coppie di numeri $x_1, x_2$ la cui media aritmetica vale $6$ hai: $y(x_1)=y(x_2)$. Restringendo ai naturali pari, vale per alcune coppie ($4$ e $8$, $2$ e $10$, $0$ e $12$ se nei naturali pari includi anche lo zero).
In questo caso, se consideri la parabola: $y(x)=1/4 x^2 -3x+9$ , vedi che ha per asse di simmetria la retta $x=6$, vale a dire che per tutte le coppie di numeri $x_1, x_2$ la cui media aritmetica vale $6$ hai: $y(x_1)=y(x_2)$. Restringendo ai naturali pari, vale per alcune coppie ($4$ e $8$, $2$ e $10$, $0$ e $12$ se nei naturali pari includi anche lo zero).
e quindi la mia funzione non è iniettiva anche se vale solo per alcuni naturali come hai detto tu?
Evidentemente no
ok, grazie mille.
Aspetto comunque altri che mi diano un metodo "veloce" per fare la verifica.
Aspetto comunque altri che mi diano un metodo "veloce" per fare la verifica.
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