Funzione inf e sup

[And70]

Buongiorno,
ho difficoltà a capire la richiesta di questo esercizio:
Tracciare un grafico qualitativo di:

$f(x)=\{(5-3/2sin(pix) : x<-1),(4-x^2 : -1<=x<=1),((2x-5)/(x+1) : x>1):}$

Determinare poi $g(x)=Sup_(t>x)f(t)$ e determinare la cardinalità dell'insieme $A={x in RR : g(x)=f(x)}$.

Il primo e l'ultimo punto credo di saperli fare (il primo è è un normale esercizio di studio di funzione e il terzo consiste un pratica nel determinare il numero di intersezioni); è il secondo punto che non capisco bene: so che cos'è l'estremo superiore di una funzione ma che cosa vuol dire tracciarne un grafico? Inoltre cosa si intende con $t>x$? Non mi sembra ci sia alcuna relazione dalla quale si possa determinare quando $t$ sia maggiore di $x$, mi sembra semplicemente un'altra variabile indipendente per definire $f$.
Cosa sarebbe cambiato nel procedimento se la richiesta fosse stata la stessa ma per $x Grazie mille e buona giornata!

[gugo82]

Proviamo a definire $g(x)$ a parole: va più o meno così:
\[
g(x) \text{ è uguale all'estremo superiore della funzione } f \text{ sull'intervallo } ]x, + \infty[\ldots
\]
Più chiaro adesso?

[And70]

Ciao gugo82!
Forse ho capito, in pratica $g(x)$ è una funzione che, dato $x inRR$, restituisce l'estremo superiore della funzione $f(x)$ da quel punto in poi.
Quindi, se ci fosse stato scritto $t=$ la stessa cosa ma nell'intervallo semiaperto.
Giusto?

[gugo82]

"And70":Buongiorno,
ho difficoltà a capire la richiesta di questo esercizio:
Tracciare un grafico qualitativo di:

$f(x)=\{(5-3/2sin(pix) : x<-1),(4-x^2 : -1<=x<=1),((2x-5)/(x+1) : x>1):}$

Determinare poi $g(x)="sup"_(t>x)f(t)$ e determinare la cardinalità dell'insieme $A={x in RR : g(x)=f(x)}$.

Disegnato il grafico di $f$:
[asvg]xmax=15; ymin=-3; ymax=7;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=3;
plot("5 - 1.5*sin(Math.PI*x)",-6,-1); dot([-1,3]); plot("4-x^2",-1,1); dot([1,3]); plot("(2x-5)/(x+1)",1,16);[/asvg]
si vede facilmente che il grafico di $g$ è quello blu:
[asvg]xmax=15; ymin=-3; ymax=7;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=1;
plot("5 - 1.5*sin(Math.PI*x)",-6,-1); dot([-1,3]); plot("4-x^2",-1,1); dot([1,3]); plot("(2x-5)/(x+1)",1,16);
stroke="dodgerblue"; strokewidth=3;
line([-6,6.5], [-2.5,6.5]); plot("5 - 1.5*sin(Math.PI*x)",-2.5,-2); line([-2,5], [-1,5]); dot([-1,4]); line([-1,4], [0,4]); plot("4-x^2",0,1); dot([1,2]); line([1,2], [16,2]);[/asvg]
Dunque:
\[
g(x) := \sup_{t > x} f(t) = \begin{cases} \frac{13}{2} &\text{, se } x \leq -\frac{5}{2} \\ 5 - \frac{3}{2} \sin (\pi x) &\text{, se } - \frac{5}{2} < x \leq -2 \\ 5 &\text{, se } -2 < x < -1 \\ 4 &\text{, se } -1\leq x \leq 0 \\ 4-x^2 &\text{, se } 0 < x < 1 \\ 2 &\text{, se } x\geq 1\end{cases}
\]