Funzione implicita
Considero la funzione $f:RR^3->RR$ definita da $f(x,y,z)=ze^(xy)+xye^z+xyz$.
Voglio provare che l'equazione $f(x,y,z)=0$ definisce intorno a 0 una funzione di classe $C^(oo)$ che esplicita una variabile in funzione delle altre due.
Chiaramente $f\inC^(oo)(RR^3)$.
Ho che $f(0,0,0)=0$.
$(\del(f))/(\del(x))(x,y,z)=yze^(xy)+ye^z+yz$
$(\del(f))/(\del(x))(0,0,0)=0$
$(\del(f))/(\del(y))(x,y,z)=xze^x+xe^z+xz$
$(\del(f))/(\del(y))(0,0,0)=0$
$(\del(f))/(\del(z))(x,y,z)=e^xy+xye^z+xy$
$(\del(f))/(\del(z))(0,0,0)=1$
Allora posso applicare il teorema di Dini per concludere che esistono $delta, eta>0$ ed esiste una funzione $phi\inC^(oo)(B_(delta)((0,0)),B_(eta)((0)))$ che esplicita la variabile $z$ in funzione delle altre due giusto?
Tra l'altro la scelta della variabile $z$ come variabile da esplicitare era obbligata in quanto i determinanti delle matrici delle derivate parziali rispetto a $x$ e a $y$ erano nulli.
Ora voglio calcolare $\gradphi(0,0)$, ho provato che questa $phi$ esiste ma non la conosco.
Come posso calcolarne il gradiente senza conoscere la funzione?
Voglio provare che l'equazione $f(x,y,z)=0$ definisce intorno a 0 una funzione di classe $C^(oo)$ che esplicita una variabile in funzione delle altre due.
Chiaramente $f\inC^(oo)(RR^3)$.
Ho che $f(0,0,0)=0$.
$(\del(f))/(\del(x))(x,y,z)=yze^(xy)+ye^z+yz$
$(\del(f))/(\del(x))(0,0,0)=0$
$(\del(f))/(\del(y))(x,y,z)=xze^x+xe^z+xz$
$(\del(f))/(\del(y))(0,0,0)=0$
$(\del(f))/(\del(z))(x,y,z)=e^xy+xye^z+xy$
$(\del(f))/(\del(z))(0,0,0)=1$
Allora posso applicare il teorema di Dini per concludere che esistono $delta, eta>0$ ed esiste una funzione $phi\inC^(oo)(B_(delta)((0,0)),B_(eta)((0)))$ che esplicita la variabile $z$ in funzione delle altre due giusto?
Tra l'altro la scelta della variabile $z$ come variabile da esplicitare era obbligata in quanto i determinanti delle matrici delle derivate parziali rispetto a $x$ e a $y$ erano nulli.
Ora voglio calcolare $\gradphi(0,0)$, ho provato che questa $phi$ esiste ma non la conosco.
Come posso calcolarne il gradiente senza conoscere la funzione?
Risposte
Allora, dovrebbe valere che:
\[
\partial_x \phi(x,y)= - \frac{f_x (x,y,\phi(x,y))}{f_z(x,y,\phi(x,y))},
\]
\[
\partial_y \phi(x,y)= - \frac{f_z (x,y,\phi(x,y))}{f_z(x,y,\phi(x,y))},
\]
Poi noti che $\nabla\phi= (\partial_x phi, \partial_y \phi)$ Hai già fatto il grosso del lavoro, perchè sai che $\phi(0,0)=0$ e i calcoli che ti servono li hai già fatti tu (il gradiente è zero)!
n.b. non ti spiego le formule perchè le trovi in un qualsiasi testo di analisi
\[
\partial_x \phi(x,y)= - \frac{f_x (x,y,\phi(x,y))}{f_z(x,y,\phi(x,y))},
\]
\[
\partial_y \phi(x,y)= - \frac{f_z (x,y,\phi(x,y))}{f_z(x,y,\phi(x,y))},
\]
Poi noti che $\nabla\phi= (\partial_x phi, \partial_y \phi)$ Hai già fatto il grosso del lavoro, perchè sai che $\phi(0,0)=0$ e i calcoli che ti servono li hai già fatti tu (il gradiente è zero)!
n.b. non ti spiego le formule perchè le trovi in un qualsiasi testo di analisi
Non mi e' chiaro come ho ottenuto che $phi(0,0)=0$...
Poi nella seconda formula se intendi $\del_y(phi(x,y))=-(f_y(x,y,phi(x,y)))/(f_z(x,y,phi(x,y)))$ allora il resto e' tutto chiaro
Poi nella seconda formula se intendi $\del_y(phi(x,y))=-(f_y(x,y,phi(x,y)))/(f_z(x,y,phi(x,y)))$ allora il resto e' tutto chiaro
Avevo sbagliato a scrivere la seconda formula, perdonami
Il fatto che $\phi(0,0)=0$ la ottieni proprio dal teorema della funzione implicita! Hai visto che $\partial_z f (0,0,0)\ne 0$, dunque puoi esplicitare z in funzione di (x,y)... ovvero, in poche parole, il teorema ti dice che fissati (x,y) esiste un'unica $\overline{z}$ tale che $f(x,y,\overline{z})=0$ (questo tutto localmente ovviamente!), e questo ti definisce la tua funzione $\phi$ ( definisci così la $\phi$ : ad ogni $(x,y)$ associ il valore $\phi(x,y)$ pari alla $\overline{z}$ tale che $f(x,y,\overline{z})=0$)!! Inoltre, il teorema ti dice che $\phi(0,0)=0$... ed è facile da capire, perchè se prendi $(x,y)=(0,0)$, già sai che basta prendere $z=0$ e allora otterrai $f(x,y,z)=0$... e tale valore $z=0$ sarà l'unico a fare quella cosa, perchè $\partial_z f (0,0,0)\ne 0$! dunque la funzione $\phi$ è ben definita in $(0,0)$ e associa il valore $0$ a $(0,0)$.
---
nota che il teorema ti permette di esplicitare solo la z in funzione delle altre due variabili, perchè le altre due derivate $\partial_x f$ e $\partial_y f$ sono nulle in (0,0,0 )!
Il fatto che $\phi(0,0)=0$ la ottieni proprio dal teorema della funzione implicita! Hai visto che $\partial_z f (0,0,0)\ne 0$, dunque puoi esplicitare z in funzione di (x,y)... ovvero, in poche parole, il teorema ti dice che fissati (x,y) esiste un'unica $\overline{z}$ tale che $f(x,y,\overline{z})=0$ (questo tutto localmente ovviamente!), e questo ti definisce la tua funzione $\phi$ ( definisci così la $\phi$ : ad ogni $(x,y)$ associ il valore $\phi(x,y)$ pari alla $\overline{z}$ tale che $f(x,y,\overline{z})=0$)!! Inoltre, il teorema ti dice che $\phi(0,0)=0$... ed è facile da capire, perchè se prendi $(x,y)=(0,0)$, già sai che basta prendere $z=0$ e allora otterrai $f(x,y,z)=0$... e tale valore $z=0$ sarà l'unico a fare quella cosa, perchè $\partial_z f (0,0,0)\ne 0$! dunque la funzione $\phi$ è ben definita in $(0,0)$ e associa il valore $0$ a $(0,0)$.
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nota che il teorema ti permette di esplicitare solo la z in funzione delle altre due variabili, perchè le altre due derivate $\partial_x f$ e $\partial_y f$ sono nulle in (0,0,0 )!
@thedarkhero
Un commento.
Hai osservato che $phi\inC^(oo)(B_(delta)((0,0)),B_(eta)((0)))$. Insomma, metti giustamente in evidenza che ci troviamo a sguazzare dentro a un intorno di $(0,0,0)$.
Io preferisco dire che $phi\inC^(oo)(B_(delta)((0,0)))$, sottintendendo il fatto che $phi$ è a valori in $RR$.
Ovviamente devo avere presente che per ogni $(x,y) \in (B_(delta)((0,0))$ c'è una ed una sola $z \in B_(eta)((0))$ bla bla bla...
Perché preferisco questo? Perché di solito si lavora con funzioni a valori reali. Cioè, il codominio è standard essere $RR$ (o $RR^k$, nel caso "vettoriale").
Mettersi ad usare funzioni il cui codominio è un sottoinsieme di $RR$ può dare noia. Per esempio, magari non le puoi sommare, o devi starci molto attento.
Un commento.
Hai osservato che $phi\inC^(oo)(B_(delta)((0,0)),B_(eta)((0)))$. Insomma, metti giustamente in evidenza che ci troviamo a sguazzare dentro a un intorno di $(0,0,0)$.
Io preferisco dire che $phi\inC^(oo)(B_(delta)((0,0)))$, sottintendendo il fatto che $phi$ è a valori in $RR$.
Ovviamente devo avere presente che per ogni $(x,y) \in (B_(delta)((0,0))$ c'è una ed una sola $z \in B_(eta)((0))$ bla bla bla...
Perché preferisco questo? Perché di solito si lavora con funzioni a valori reali. Cioè, il codominio è standard essere $RR$ (o $RR^k$, nel caso "vettoriale").
Mettersi ad usare funzioni il cui codominio è un sottoinsieme di $RR$ può dare noia. Per esempio, magari non le puoi sommare, o devi starci molto attento.
Grazie ad entrambi!
Un'ultima questione...supponiamo che io voglia calcolare la derivata parziale seconda rispetto a $x$ in $0$ cioe' $(\del^2phi)/(\delx\delx)(0,0)$.
Devo derivare l'espressione $-(f_x(x,y,phi(x,y)))/(f_z(x,y,phi(x,y)))$ rispetto a $x$ ma resta il fatto che non conosco $f_x(x,y,phi(x,y))$ e $f_z(x,y,phi(x,y))$...
Un'ultima questione...supponiamo che io voglia calcolare la derivata parziale seconda rispetto a $x$ in $0$ cioe' $(\del^2phi)/(\delx\delx)(0,0)$.
Devo derivare l'espressione $-(f_x(x,y,phi(x,y)))/(f_z(x,y,phi(x,y)))$ rispetto a $x$ ma resta il fatto che non conosco $f_x(x,y,phi(x,y))$ e $f_z(x,y,phi(x,y))$...
"thedarkhero":
Grazie ad entrambi!
Un'ultima questione...supponiamo che io voglia calcolare la derivata parziale seconda rispetto a $x$ in $0$ cioe' $(\del^2phi)/(\delx\delx)(0,0)$.
Devo derivare l'espressione $-(f_x(x,y,phi(x,y)))/(f_z(x,y,phi(x,y)))$ rispetto a $x$ ma resta il fatto che non conosco $f_x(x,y,phi(x,y))$ e $f_z(x,y,phi(x,y))$...
No, ce la fai, tieni presenti che di $phi$ "conosci" le derivate parziali... Viene fuori una roba un po' mostruosa, ma l'idea è la stessa che ti permette di trovare (ad esempio) la derivata seconda di una $psi$ definita implicitamente da $g(x,y)=0$.
Di sicuro da qualche parte nel forum almeno questo caso più semplice è stato visto.
Mi conviene derivarlo come un quoziente?
Al numeratore ho qualche problema nel derivare quella funzione composta...
Al numeratore ho qualche problema nel derivare quella funzione composta...
Dovresti derivarlo come quoziente!
La derivata del numeratore dovrebbe essere:
\[
f_{x,x}(x,y,\phi(x,y))+f_{x,z}(x,y,\phi(x,y))\phi_x(x,y).
\]
La derivata del numeratore dovrebbe essere:
\[
f_{x,x}(x,y,\phi(x,y))+f_{x,z}(x,y,\phi(x,y))\phi_x(x,y).
\]
Non mi e' chiaro come l'hai ottenuta...intendi la derivata del numeratore o il numeratore della derivata?
é la derivata del numeratore
"thedarkhero":
Non mi e' chiaro come l'hai ottenuta...intendi la derivata del numeratore o il numeratore della derivata?
E' la derivata del numeratore, trovata mediante la regola di derivazione (parziale) delle funzioni composte. Non compare $f_{x,y}$ perché va moltiplicata per "la derivata di $y$ rispetto alla $x$", che vale $0$.
Ah si certo! Tutto chiaro, non ci avevo pensato!
Grazie mille ad entrambi!
Grazie mille ad entrambi!
Giusto per conferma...derivo rispetto a $x$ l'espressione $-(f_x(x,y,phi(x,y)))/(f_z(x,y,phi(x,y)))$ e ottengo:
$((f_(xx)(x,y,phi(x,y))*1+f_(xz)(x,y,phi(x,y))*phi'_x(x,y))*(f_z(x,y,phi(x,y)))-(f_x(x,y,phi(x,y)))*(f_(zx)(x,y,phi(x,y)))*1+(f_(zz)(x,y,phi(x,y)))*phi'_x(x,y))/(f_z(x,y,phi(x,y)))^2$
Tutto corretto?
PS: come posso spezzare la formula in modo da renderla completamente visibile, o meglio ancora inserirla in un'area di testo con scroll bar?
$((f_(xx)(x,y,phi(x,y))*1+f_(xz)(x,y,phi(x,y))*phi'_x(x,y))*(f_z(x,y,phi(x,y)))-(f_x(x,y,phi(x,y)))*(f_(zx)(x,y,phi(x,y)))*1+(f_(zz)(x,y,phi(x,y)))*phi'_x(x,y))/(f_z(x,y,phi(x,y)))^2$
Tutto corretto?
PS: come posso spezzare la formula in modo da renderla completamente visibile, o meglio ancora inserirla in un'area di testo con scroll bar?
Intanto direi che ci vuole un segno meno davanti a tutto, e poi la prima derivata al numeratore è rispetto a x due volte: $f_{x x}$... Penso che puoi anche spezzare la formula in due, guardala come somma di due pezzi!
Riguardo il meno mi era proprio sfuggito, invece la derivata l'avevo scritta rispetto a x due volte ma la stringa "xx" era stata interpretata come prodotto vettore.
Lo riscrivo:
$-((f_("xx")(x,y,phi(x,y))*1+f_(xz)(x,y,phi(x,y))*phi'_x(x,y))*(f_z(x,y,phi(x,y))))/(f_z(x,y,phi(x,y)))^2+$
$+((f_x(x,y,phi(x,y)))*(f_(zx)(x,y,phi(x,y)))*1+(f_(zz)(x,y,phi(x,y))*phi'_x(x,y)))/(f_z(x,y,phi(x,y)))^2$
Lo riscrivo:
$-((f_("xx")(x,y,phi(x,y))*1+f_(xz)(x,y,phi(x,y))*phi'_x(x,y))*(f_z(x,y,phi(x,y))))/(f_z(x,y,phi(x,y)))^2+$
$+((f_x(x,y,phi(x,y)))*(f_(zx)(x,y,phi(x,y)))*1+(f_(zz)(x,y,phi(x,y))*phi'_x(x,y)))/(f_z(x,y,phi(x,y)))^2$
ok 
Grazie ancora!
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